2o ciclo integral doble como flujo

[Julián]

[FONT=verdana]Viendo el tema de flujo me surgió la siguiente duda. ¿Toda integral doble es un flujo? o lo que es lo mismo ¿toda integral doble puede considerarse como un flujo? ¿o solamente se considera flujo a las funciones vectoriales?[/FONT]

[Al2000]

Re: integral doble como flujo

Una integral doble puede ser un área, como por ejemplo

$$A = \int_{-r}^{r}\! \int_{-\sqrt {r^2 - y^2}}^{\sqrt {r^2 - y^2}}\!\! dx dy$$

Puede ser un volumen:

$$V = \int_{0}^{r}\! \int_{0}^{2 \pi }\!\! h \frac {r-\rho } r \rho \, d \theta d \rho$$

Puede ser un flujo:

$$\Phi_E = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{\pi }\!\! \int_{0}^{2 \pi }\!\! \left(\frac {\cos \theta }{3 a^2} - \frac 1 {r^2}\right)(r^2 \, \mathrm {sen} \, \theta \,d \phi \,d \theta)$$

Puede ser montones de otras cosas, pero para muestra baste un botón.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: integral doble como flujo

En absoluto. El flujo de un campo vectorial $\vec E$ a través de una superficie obedece a una definición muy concreta, $\int \vec E\cdot\vec\dd\vec S$. Por ejemplo, la carga que contiene una superficie cargada con densidad de carga $\sigma$ es también una integral doble cuyo resultado es un escalar, $\int\sigma \dd S$. Además, es perfectamente posible imaginar otras integrales dobles que ni siquiera tengan por resultado un vector y entonces de ningún modo sean flujos , por ejemplo, $\int \vec E\times\vec\dd\vec S$

Añado: tardé tanto en escribir que Al lo hizo entretanto.

[Julián]

Re: integral doble como flujo

Gracias por responder. pero en particular $\int \vec{E} d\vec{s}$ no es un flujo sino una integral de linea. ¿no es cierto?

Y con respecto al ejemplo de la integral doble como área que das Al2000, esta es un área ya que no tiene función, ¿no es cierto? que sería el techo.

saludos.

[arivasm]

Re: integral doble como flujo

Ciertamente no detallé que $\dd \vec S$ era un elemento de superficie, si bien es muy habitual denotarlos de esa manera. Sí es un flujo: es la integral del producto escalar del vector de campo y el vector superficie, extendida a todos los puntos de la superficie (que es lo que hace que sea una integrar doble, pues son necesarias dos coordenadas para dar su posición).