1r ciclo Aproximación usando el resto de Lagrange

[Sheldoniano]

Muy buenas, hoy os traigo un ejercicio al que llevo ya bastante tiempo intentando vencer y no puedo.

Se pide aproximar $\dst\sqrt{10}$ con un error menor que $\dst\frac{1}{100}$

Para ello se supone que debo usar el resto de Lagrange desarrollando el polinomio de Taylor

El tema es que mientras que un profesor nos ha dicho que desarrollemos la función $\dst\sqrt{x}$ en x=9 otro lo hace como $\dst\sqrt{1+x}$ en x=0 y usando un desarrollo usando números combinatorios.

De cualquier manera no llego a la derivada n-ésima, ni a la n+1-ésima de nada y no sé que c coger para acotar el error.

Se agradece una ayudita

Saludos universo científico

[arivasm]

Re: Aproximación usando el resto de Lagrange

Desde luego, la idea de usar el desarrollo en torno a x=9 es sencilla. Como $\dst f(x)=x^\frac{1}{2}$, $\dst f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac 1 2}$ y $\dst f''(x)=-\frac 1 4 x^{-\frac 3 2}$, el desarrollo nos lleva a $\dst T(10)=3+\frac 1 2\,\frac 1 3=\frac {19} 6$, con un resto de Lagrange $\dst R=-\frac 1 {2!}\,\frac 1 4 a^{-\frac 3 2}$, con a comprendido entre 9 y 10, lo que significa que |R| está comprendido entre $\dst \frac 1 {2!}\,\frac 1 4 \frac 1 {3^3}<\frac 1 {100}$ y $\dst \frac 1 {2!}\,\frac 1 4 \frac 1 {(\sqrt{10})^3}<\frac 1 {100}$ (donde para esto último tenemos en cuenta que a medida que $a$ aumenta $|R(a)|$ disminuye, luego $|R(10)|<|R(9)|<\frac 1 {100}$.

Con respecto a usar el desarrollo de $\sqrt{1+x}$ en torno a x=0 entiendo que la idea es parecida (también podríamos haber recurrido a $\sqrt{4+x}$ o a $\sqrt{9+x}$, la intención es simplificar los valores de las derivadas y el de la función, en x=0), salvo que ahora tendremos que recurrir a un desarrollo de mayor grado que en el caso anterior (y entonces más pesado), por culpa de que al hacer x=0 los valores de las derivadas no serán tan pequeños como en el caso anterior. Si no me equivoco, en este caso habrá que llegar al orden 3 (en vez del 1) porque hora el $a$ podrá estar comprendido entre 0 y 9, con lo que no bajamos (para a=0) de 1/100 hasta que llegamos al término de orden 4: $\dst\frac 1 {4!} f^{iv)}(a)$.

Moraleja: en mi opinión, aunque los dos profes tienen razón, el método del primero es más rápido y cómodo.

[Sheldoniano]

Re: Aproximación usando el resto de Lagrange

Mm, no llego a ver claro porqué desarrollas solo hasta la segunda potencia. Yo tenía entendido que Tn(x) ya era el resto de Lagrange, no entiendo la siguiente distinción.
Siento volver a preguntar pero no lo veo

[arivasm]

Re: Aproximación usando el resto de Lagrange

La idea es que el resto de Lagrange, que dependerá del orden $n$ hasta el que desarrollas, y cuyo valor es $\dst R(a)=\frac{1}{(n+1)!}f^{n)}(a)(x-x_0)^{n+1}$, para un $a\in(x_0,x)$, tenga un valor menor que el límite que te marcan de 1/100. En el primer caso, como el desarrollo es en torno a $x_0=9$ y se está aplicando a $x=10$, se trata de que $\dst\left|\frac{1}{(n+1)!}f^{n)}(a)(10-9)^{n+1}\right|<\frac 1 {100}$. Por tanto, hay que verificar que

$$\dst \left|f^{n)}(a)\right| <\frac{(n+1)!}{100}$$

.

En consecuencia, vamos a ir tomando valores para n, hasta que se cumpla la condición, teniendo en cuenta que $a$ estará comprendido entre 9 y 10.

Para n=0 como $\dst f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}$, y esta cantidad tomará el mayor valor para a=9, y éste será 1/6, está claro que no se cumplirá (1), pues no es cierto que 1/6 sea menor que 1/100.

Para n=1 tenemos que $\dst f''(a)=-\frac{1}{4a^{3/2}}$. Como antes, el mayor valor absoluto de esta cantidad corresponde a a=9 y vale $1/(4\;3^3)=1/108$ que sí es menor que 2/100. Por tanto, ahora sí tenemos asegurado que el resto de Lagrange satisfará (1), y por eso podemos hacer uso de un desarrollo de orden 1.

[Sheldoniano]

Re: Aproximación usando el resto de Lagrange

Muchísimas gracias, me había ido demasiado a buscar la derivada n-ésima cuando realmente no hace falta, simplemente voy calculando y luego desarrollo hasta el n que me ha salido. Una vez más, gracias arivasm