1r ciclo Inecuación con complejo

[mariolp]

Buenas tardes, tengo un problemilla al resolver una desigualdad de la que tengo que despejar un número complejo z, el ejercicio en cuestión es el siguiente, a ver si me podéis ayudar

Hallar los z $\in\mathbb{C}$ tales que

$$\vert \frac{4z-3i}{4+3iz} \vert <1$$

Entiendo que como al hablar de números complejos no tiene sentido hablar de orden, me está pidiendo que el módulo de z sea menor que 1, pero con eso sólo saco una ecuación $\sqrt{x^2+y^2}<1$, por lo que me sigue faltando otra ecuación.
A ver si me podeis ayudar un poquito, muchas gracias por vuestro tiempo
PD:¿Cómo pongo dos barras verticales que indiquen módulo sin poner \vert? Las que he puesto parece que se me quedan un poco cortas para la fracción

[oscarmuinhos]

Re: Inecuación con complejo

Primero realizas el cociente, bien multiplicando por el conjugado del denominador (con lo que en denominador te queda un número y en el numerador un número complejo), bien convirtiendo cada número complejo a forma polar (o también puedes utilizar la forma trigonométrica o bien la forma exponencial).
Una vez hecho esto tienes un número complejo en forma binómica, del que calculas el módulo de la forma que tu dices y resuelves la inecuación (que solo va a tener la variable z). Si, para hacer el cociente, utilizaste la forma polar, el módulo es el cociente de los módulos
Animo

[mariolp]

Re: Inecuación con complejo

Muchas gracias por tu ayuda, pero siguiendo ese procedimiento me quedo como estoy, porque al tener la z como incógnita, es decir z=x+iy, en el denominador me queda $16-24y+9x^2+9y^2$ y en el numerador no lo he hecho pero quedará algo semejante supongo, ¿Cómo voy a hacer esa división? No sé si te he entendido muy bien lo que hacer, según he entendido tengo que:
1.Convertir lo que tengo, digamos dentro del módulo, a un número complejo. Esta parte no me sale por lo que he expuesto antes
2.Después, decir que el módulo de ese número será menor que 1, con lo que conseguiré una inecuación con x e y
3.Por último ¿¿?? Esta parte ya me he perdido.
¿Podrías explicarme un poco más detalladamente (me cuesta mucho este tema), cómo resolverlo?
Muchas gracias de todas formas

[oscarmuinhos]

Re: Inecuación con complejo

Es que esa z no representa a un número complejo z, sino a una variable que puedes (para no crearte equívocos) llamarle t ó x o y.
Así lo entiendo yo

[mariolp]

Re: Inecuación con complejo

Estoy casi seguro que se refiere a un número complejo, ya que en el propio enunciado dice que pertenece al conjunto de los complejos

[oscarmuinhos]

Re: Inecuación con complejo

A mi me ha dado -1< z < 1.
Transcribir el cálculo se hace muy lento.
Inténtalo.
Te digo los pasos:
paso 1: multiplicas numerador y denominador por el conjgado del denominador, es decir por (4-3zi)
paso 2: operas en el numerador y en el denominador:
en el denominador te quedará un número real (dependiente de la variable z): 16+9z²
en el numerador (despues de operar) te quedará un número complejo en el que has de agrupar la parte real por un lado y la parte imaginaria por otro:
(a mi me dió: 7z-12(z²+1)i
paso 3: separas la parte real y la parte imaginaria de este complejo y calculas su módulo que pones en la inecuación
paso 4: elevas los dos miembros de la inecuación al cuadrado para quitar la raíz
paso 5: pasas el 1 para el primer miembro para que en el segundo miemro te quede cero y reduces a común denominador el primer miembro y haces operaciones
paso 6: como el denominador es siempre positivo (por esatr elevado al cuadrado) el signo de esta inecuación solo estará determinado por numerador. Tomas, pues, para la inecuación solo el numerador
paso 7: después de operar y simplificar te queda una ecuación bicuadrada que se resuelve facilmente. La inecuación que a mi me quedó: 9z⁴+7z²-16<0

Te ha servido?


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Puedes poner el enunciado completo?

- - - Actualizado - - -

puedes poner el enunciado completo?

[mariolp]

Re: Inecuación con complejo

El enunciado completo es simplemente el que he puesto en el primer post, hallar todos los z pertenecientes a los complejos que cumplen esa relación

[oscarmuinhos]

Re: Inecuación con complejo

Tienes razón que dice z \in C. Estoy convencido que no se refieren a la misma z.
Si así fuera, sustiturías z por x + yi y harías lo que explicaba en el mensaje anterior.
Multiplicas numerador y denominador por el conjugado del denominador, operas, separas la parte real de la compleja y hallas el módulo.
Elevas al cuadrado para quitar la raíz.
Pasas 1 al primer miembro para dejar cero en el segundo miembro
Reduces a comun denominador y operas en el numerador.
El signo del cociente este solo va a depender del denominador y ahora se trata de hallar el conjunto de puntos del plano que cumplen la condición de que la expresión que te sale en el numerador sea menor que cero.
La solución no va a ser un intervalo de puntos de R para x y otro intervalo de puntos de R para y, sino una región del plano (plano de representación de los números complejos).
Como se hace?
para que entiendas el método, te pongo un ejemplo más sencillo

SIN EMBARGO SOY DE LA OPINIÓN QUE ESA z DE LA EXPRESIÓN NO SE REFIERE A UN NÚMERO COMPLEJO SALVO SINO A UNA VARIBLE REAL
Imagina que se trata de saber los puntos del plano para los que y-2x-3 <0
Representaríamos la recta y-2x-3=0. Los puntos de la recta cumplen la condición de que y=2x+3 y evidentemente los puntos que están debajo de la recta cumple que y<2x +3 y por tanto y-(2x+3)<0. Y ESTA SERIA LA SOLUCIÓN.
No sé si te ha servido de algo...

[carroza]

Re: Inecuación con complejo

Muchas gracias por tu ayuda, pero siguiendo ese procedimiento me quedo como estoy, porque al tener la z como incógnita, es decir z=x+iy, en el denominador me queda $16-24y+9x^2+9y^2$ y en el numerador no lo he hecho pero quedará algo semejante supongo, ¿Cómo voy a hacer esa división? No sé si te he entendido muy bien lo que hacer, según he entendido tengo que:
1.Convertir lo que tengo, digamos dentro del módulo, a un número complejo. Esta parte no me sale por lo que he expuesto antes
2.Después, decir que el módulo de ese número será menor que 1, con lo que conseguiré una inecuación con x e y

Hola. Una vez que calcules numerador y denominador, tendras una desigualdad de tipo

(cosa cuadrática en x e y) / (otra cosa cuadratica en x e y) < 1

De aqui, operando, obtienes

(tercera cosa cuadratica en x e y) > 0,


y esto es la ecuación del interior (o del exterior) del elipsoide definido por
(tercera cosa cuadrática en x e y) = 0.


saludos