1r ciclo Indeterminación cero por infinito

[PedroAAI]

Hola, estaba resolviendo un ejercicio de estudiar la derivabilidad de funciones y me encontré con una indeterminación que me lleva dando un dolor de cabeza desde hace un par de horas. He intentado desde L'Hôpital hasta cambios de variable y me salen límites complicadísimos. Si me podéis echar una mano de algún otro camino, el límite es el siguiente:
\displaystyle\lim_{x \to 0}{\cos{\frac{1}{x}}\sin^2{(x)}}, en principio debería dividir uno por la inversa del otro para conseguir una indeterminación infinito por infinito o cero por cero, pero como os dije me salen límites complicadísimos. A ver si me podéis ayudar. Gracias

Perdona por la sintaxis, pero no funciona el latex en el foro. Literalmente es: Límite cuando x tende a 0 de coseno de uno partido de x por seno al cuadrado de x.

[oscarmuinhos]

Re: Indeterminación cero por infinito

No te hace falta aplicar L´Hopital. La función seno al cuadrado de x tiende a cero cuando x tiende a cero. Por otro lado la función coseno (sea cual sea el valor de (1/x) es una función acotada entre -1 y 1. Por lo tanto, la función producto de estas dos tiene de límite cero cuando x tiende a cero
Así lo veo yo
Suerte

[angel relativamente]

Re: Indeterminación cero por infinito

El foro está un poco delicado, pero la administración está trabajando arduamente para nuestro confort.
Respecto al problema, se me ocurre que se puede resolver acotando mediante la regla del Sandwich. Tienes que:

0\leqslant \left\vert{} \cos \dfrac 1x \cdot \sin^2 x \right\vert{}\leqslant \sin^2 x

Y como este último tiene límite 0 cuando x tiende a 0, queda que el límite propuesto es cero.

Saludos,

PD: Se me adelantó Oscar. Como ves la idea es la misma.

[PedroAAI]

Re: Indeterminación cero por infinito

Muchas gracias a los dos, tengo aplicado esta regla en otros ejercicios pero no me había dado cuenta jaja

[oscarmuinhos]

Re: Indeterminación cero por infinito

Nos pasa a todos. Los investigadores de la didáctica lo tienen (dicen) más que estudiado: si pones a cualquiera varios problemas más o menos complicados y, en medio de todos ellos, pones uno elemental, nuestro cerebro trata de seguir el mismo camino para todos sin, siquiera, examinar si puede haber otro más fácil. Nuestro cerebro es así....a veces muy terco. Y, al parecer, gracias a ello pudimos avanzar en cultura: gracias a esa tendencia del cerebro a "buscar regularidades", la misma tendencia que lleva a los niños que están aprendiendo a hablar a conjugar todos lo verbos (regulares e irregulares) de la misma manera...
ESTO ES COTILLEO..pero tampoco está mal un poco de cotilleo de vez en cuando
Saludos