1r ciclo Soluciones complejas de raíces

[guibix]

Buenas,

Tengo una duda un poco tonta de la que creo tener una respuesta, pero no he podido verificarlo.

El tema es que si para un polinomio de grado $n$ tengo $n$ soluciones, siendo n un número natural proveniente de un exponente fraccionario con denominador $n$. Llevando el teorema fundamental del álgebra al límite, si el exponente es un número irracional, como sólo se puede expresar ése número con una fracción de infinitos, la consecuencia más lógica inmediata es que un polinomio de grado [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] tiene infinitas soluciones. Sé que como resultado se usa la primera raíz, pero parece que todas las soluciones forman un círculo continuo en el plano complejo de radio igual al módulo de la primera raíz.

¿Es éste razonamiento válido o puede ser "desmontado" por otro razonamiento "superior"?

Gracias y saludos.

PD: Ahora que me leo me doy cuenta que me he expresado fatal.

Lo simplificaré para ser más claro

¿Si $x$ es una variable compleja, $b$ un número irracional, y $c$ es un número real o complejo, tiene $x^b+c=0$ infinitas soluciones?

Si construyo el numero irracional $b$ cómo límite de una fracción para saber cuantas soluciones tiene (ya que el denominador de ésa fracción es el grado), me sale un denominador infinito.

¿Hay una forma de negarlo para justificar que la primera solución es la "buena" y única solución?

[JLace]

Re: Soluciones complejas de raíces

creo que lo que tienes que hacer es buscar la raiz de el número complejo x, y eso tiene infinitas soluciones lo que pasa es que son repetidas por ser los mismos angulos en número determinada de ellas (siempre las mismas)

[guibix]

Re: Soluciones complejas de raíces

creo que lo que tienes que hacer es buscar la raiz de el número complejo x, y eso tiene infinitas soluciones lo que pasa es que son repetidas por ser los mismos angulos en número determinada de ellas (siempre las mismas)

No acabo de entender lo que quieres decir y no veo que los ángulos sean el mismo. Lo que me refiero es que si por ejemplo $b=\pi$ y $c=1$, nos queda

$$x^{\pi}+1=0.$$

Si hago el proceso normal obtengo una sola raíz que es $x=e^i$. El tema es que si un grado 3 tiene 3 soluciones no puedo decir que un grado $\pi$ tenga $\pi$ soluciones, puesto que el número de soluciones debe ser natural. Si llego a $x=(-1)^{1/\pi}$ y quiero aproximar $\pi$ con una fracción irreductible (por ejemplo $\pi\approx \frac{22}{7}$), obtengo

$$x\approx (-1)^{7/22}=\sqrt[22]{(-1)^7}.$$

Ésa aproximación tiene 22 resultados formando un polígono regular de 22 caras y radio 1 en el plano complejo. Si quiero aproximar más a $\pi$ obtendré cada vez más resultados. Y si hago el límite para "llegar" a $\pi$, me queda un infinito dividido por otro infinito $\pi$ veces menor. Por lo tanto tengo una raíz de infinitas soluciones que pasa por todos los puntos del círculo unitario complejo.

Saludos.