1r ciclo Criterio de la integral.

[PedroAAI]

Hola, tengo que mirar si convergen dos series por el criterio de la integral, pero el problema con que me encuentro es que no sé resolver las integrales, a ver si me podéis ayudar.

Demostrar que las dos series siguientes son convergentes:
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{arcotg (n)}{1+n^2}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\log{(n)}^s},s>1$

Por lo tanto las integrales a resolver serían:
$\lim_{n \to \infty}{\int_{1}^{n} \frac{arcotg (x)}{1+x^2}dx}$, que no tengo idea de como resolverla, he intentado integrar por partes, pero nada.

La otra integral tampoco sé como resolver, si me podéis ayudar estaría agradecido.

NOTA: Es la primera vez que utilizo el criterio de la integral, así que igual es de otra forma, si no estoy equivocado debo mirar si esta integral converge y si es así la serie también converge (siempre que f(x) sea decreciente y continua en $[1,\infty)$.

[oscarmuinhos]

Re: Criterio de la integral.

Integral I:
$\dst \sum_{n=0}^{\infty} \frac{arcotg (n)}{1+n^2}$

$\dst \lim_{c \to \infty}\int_0^c\frac{arcot \ x}{1 \ + \ x^2},s>1$

cambio de variable: $\ arcot \ x \ = \ z$, con lo cual $\ dz = \dst \ -\frac{1}{1 \ +\ x^2 }dx$

Y la integral ya es directa: $\dst \ I \ = \ - \lim_{c \to \infty} \ \int_0^c \ z \ dz, \ s>1$

Y la integración es entonces inmediata

Integral II:
(no tengo claro si el logaritmo es de base decimal o es logaritmo neperiano. Voy a suponer que es neperiano)

$\dst \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\log{(n)}^s},s>1$

$\dst \lim_{c \to \infty}\int_2^c\frac{1}{x(\log{(x)}^s},s>1$

cambio de variable: $\ log (x) = z$ y, por tanto, $\dst\frac 1 x dx = dz$

$\dst \lim_{c \to \infty}\int_2^c \frac {dx}{x \ s \ log (x)} = \lim_{c \to \infty}\int_2^c \frac {dz}{ s \ z} =\frac 1 s\lim_{c \to \infty}\int_2^c \frac {dz}{z}$

Y esta es ya una integral inmediata.