1r ciclo Hallar número de soluciones

[mariolp]

Buenas de nuevo, les presento el ejercicio con el que estoy teniendo problemas actualmente a ver si me pueden aconsejar como atacarlo.

Hallar el número de soluciones reales que tienen las siguientes ecuaciones y dos enteros consecutivos entre los que se encuentra cada solución.

Las ecuaciones que se proponen son cosas como $3x^5 + 15x -8 = 0$ ó como $e^x=1+x$

Mi primera intención fue usar el teorema de Bolzano pero obviamente no me da el número de soluciones sino si hay solución entre dos números, por lo que lo podré usar para la segunda parte (hallar dos enteros consecutivos entre los que se encuentra cada solución).
El ejercicio en sí está englobado dentro del tema de derivación y fórmula de Taylor así que supongo que tendré que apoyarme en ello pero sigo sin verlo.
Si alguien se le ocurre y puede guiarme para poder resolverlo le estaría eternamente agradecido.
Un saludo!

[javier m]

Re: Hallar número de soluciones

Solo se me ocurre hacer $y=3x^5 + 15x -8$ e $y=e^x-1-x$.

Derivar las funciones, ver los puntos críticos y ver en qué intervalos crecen y decrecen las funciones.

Con esto podrías saber cuantas soluciones tiene cada ecuación.

[mariolp]

Re: Hallar número de soluciones

Gracias Javier m, pero también había pensado en ello y una función puede crecer o decrecer sin tener que pasar por cero necesariamente

[javier m]

Re: Hallar número de soluciones

En la segunda la derivada de la función $y=e^x-1-x$ se hace 0 solo en $x=0$.

Si uno halla la imagen de $x=0$ obtiene $y(0)=0$, de modo que esa es la unica solución ya que además de ser solución es un único punto crítico

En la primera uno tiene que $y'(x)>0$ para todo $x$
Adema de eso tenemos que:

$\dst \lim_{x \to -\infty} y(x)=-\infty$

$\dst \lim_{x \to \infty} y(x)=\infty$

De modo que de $-\infty$ a $\infty$, hay una única solucion debido a que la función solo crece.

[mariolp]

Re: Hallar número de soluciones

Vale creo que he cogido la esencia excepto del por qué hacer la imagen del punto en el que la segunda derivada es cero.
Por ejemplo si sigo el mismo criterio en $y=3x^5+15x-8$ la segunda derivada me quedará $y''=60x^3$ y de la primera derivada obtengo que la función sólo crece. En este caso me quedaría $x=0,haciendo y=0$ y al sustituir en la ecuación inicial no obtengo la raíz...
Disculpa las molestias pero me está costando un poco cogerlo!

[javier m]

Re: Hallar número de soluciones

yo nunca hablé de "segunda derivada" , yo dije "en la segunda la derivada " refierendome con "segunda" a la función del segundo problema.

Hagamos por ejemplo una función parecida, digamos: $y=e^x-2-x$

Derivo e igualo a cero:
$\dfrac{\dd y}{\dd x}=e^x-1=0$

De modo que $x=0$.

Evalúo $x=0$ en la función y obtengo que $y(0)=-1$, lo que implica que el punto (0,-1) es un punto crítico.

Por otro lado, mirando la derivada de la función se ve que para $x>0$ la función es creciente y para $x<0$ es decreciente, de modo que de $-\infty$ a $x=0$ hay una raiz porque la función pasa de ser positiva a negativa en ese intervalo. Y de x=0 a $\infty$ hay una raiz porque la función pasa de ser negativa a ser positiva. De modo que hay dos raices.


Pero en el problema original el punto crítico es (0,0).
La función de $-\infty$ a $x=0$, cae hasta $y=0$ y vuelve a subir enseguida, de modo que no hay más raices que $x=0$.