1r ciclo Problema calcular integral límites infinitos

[Uranio]

Hola, realizando problemas de física cuántica me acabo de topar con una integral que me tiene en ascuas:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2+bx} \, dx$

La he desarrollado hasta obtener:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2+bx} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac {b^2}{4a}-a(x-\frac {b^2}{4a})^2} \, dx = e^{\frac {b^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x-\frac {b^2}{4a})^2}$

Ahora el problema lo tengo al introducir la función gamma de euler para hacer la integral.
¿Alguien me hecha una mano?

[[Beto]]

Re: Problema calcular integral límites infinitos

No es necesario que introduzcas la función Gamma, solo recuerda que $\dst \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\dd x=\sqrt{\pi}$, luego haz el siguiente cambio de variable $u=\sqrt{\alpha}(x-b^2/4a)$

[Uranio]

Re: Problema calcular integral límites infinitos

Muchas gracias [Beto] por la ayuda.
En el cambio de variable pusiste un $\alpha$ en la raíz, supongo que sería una $a$. Así $u=\sqrt{a}(x-b^2/4a)$

Por lo tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Beto] la única duda que me queda, es ¿por qué ese cambio de variable? Me refiero a de dónde se obtiene la idea de utilizar justamente este cambio
Un saludo.

[[Beto]]

Re: Problema calcular integral límites infinitos

Si es una a, ese cambio de variable se hace porque este resultado $\dst \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\dd x=\sqrt{\pi}$ es muy conocido.