1r ciclo Demostraciones

[mariolp]

Buenas tardes amigos, aquí estoy fustigándome con algunas dudas de análisis matemático en vez de disfrutar de las navidades. Allá va el problema en cuestión, a ver si podéis echarme una mano con la forma de resolverlo (pero sin resolverlo, sólo el procedimiento a seguir )
-Demostrar las siguientes igualdades y desigualdades- (escueto enunciado, estos son los peores)
Las ecuaciones o inecuaciones que tengo que resolver son del estilo de:
$x-\frac{x^3}{3}<arctgx$
$senx<x\text{ } (x>0)$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
En concreto estos ejercicios salen en una hoja que me han entregado de derivación, extremos y Taylor, así que la resolución tendrá que andar por esos términos. Además de dibujando la gráfica de cada término no se me ocurre otra manera usando las derivadas...
Muchas gracias de antemano y feliz navidad!

[Al2000]

Re: Demostraciones

Simplemente haz la expansión en serie de Taylor de cada una de las funciones. Toma nota que la primera desigualdad que escribiste solo es válida para $x>0$.

Saludos,

Al

[mariolp]

Re: Demostraciones

He resuelto sin mayor problema las demostraciones que me pedían excepto en un caso
$\frac{x}{1+x} < log (1+x) < x$ cuando $x>0$
He hecho el desarrollo de Taylor de los dos primeros miembros quedándome:
$\frac{x}{1+x} = x - x^2 + x^3 - x^4 + \ldots$
$log (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$
Es decir, fijándonos sólo en la primera desigualdad:
$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots < x - x^2 + x^3 - x^4 + \ldots$ y pasando todo al lado derecho:
$0 < 0 + \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + \ldots = \sum_{i = 2}^\infty (-1)^i \frac{i-1}{i} x^i$
El hecho es que no veo forma de probar esa igualdad ya que el "último término" es el que tiene más peso por tener un exponente mayor y no sabemos si es positivo o negativo (porque hay infinitos)
A la hora de probar la otra desigualdad me pasa lo mismo, al despejarlo todo a un lado de la ecuación me queda:
$- \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots < 0$
Se me ha ocurrido que se podría "deshacer" el desarrollo polinomial pero no sé si es posible, y en tal caso no sé hacerlo.
De nuevo muchas gracias por la ayuda, un saludo y feliz navidad

[guibix]

Re: Demostraciones

El desarrollo de Taylor se genera a partir de un punto de la función. En tu caso lo has aplicado sobre $x=0$. Fíjate que para toda $x$ que cumpla $-1<x<1$ los exponentes mayores son menos importantes que los exponentes menores. Por lo tanto en $x=0$ cuando mayor es el exponente sumado, menos cambia la función en ése punto y "cerca" de él.

Saludos.