1r ciclo Duda sobre el Polinomio/Teorema de Taylor

[alfred_oh]

Buenas,
Estoy estudiando el teme de Polinomio de Taylor pero no entiendo porque en la definición:
"Si n≥0 es un entero y f una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:

Se coloca (x-a) que es lo que se quiere decir(matematica o geometricamente) cuando colocamos eso?
Lo que pasa es que entiendo la definicion del Polinomio de Taylor cuando a=0, es decir del Polinomio de McLaurin, pero cuando aes diferente de 0 me pierdo. Alguien me lo podría explicar por favor, o por lo menos decirme donde encontrar información al respecto? Gracias!

[andrewcraig]

Re: Duda sobre el Polinomio/Teorema de Taylor

El polinomio de Taylor aproxima la función localmente, en concreto está centrada en el punto a. Para x=a el polinimio vale exactamente f(a)

[arivasm]

Re: Duda sobre el Polinomio/Teorema de Taylor

...entiendo la definicion del Polinomio de Taylor cuando a=0, es decir del Polinomio de McLaurin, pero cuando aes diferente de 0 me pierdo...

Pues entonces piensa que si haces el cambio de variable $x'=x-a$, el polinomio de Taylor se vuelve uno de McLaurin.

[alfred_oh]

Re: Duda sobre el Polinomio/Teorema de Taylor

Pues entonces piensa que si haces el cambio de variable $x'=x-a$, el polinomio de Taylor se vuelve uno de McLaurin.

Gracias! A ver si lo he entendido:
De lo que se trata es buscar el Polinomio de Taylor para la función f(x) en el punto x=a. Eso sería lo mismo que buscar el polinomio de McLaurin de tal manera que nuestra f(x)=g(x-a) no? Por lo tanto el Polinomio de McLaurin en funcion de g(x-a) quedaría

Luego colocando este polinomio en función de f, es decir f(x+a)=g(x+a-a)=g(x) y sabiendo que f se tiene que evaluar teniendo en cuenta que x=0 pues estamos en el Polinomio de McLaurin:

Podrías confirmarmelo porfa? Gracias por la explicacion y por el tiempo =) Feliz Año!

[arivasm]

Re: Duda sobre el Polinomio/Teorema de Taylor

No me gusta demasiado la primera expresión que pones, de las dos escritas a mano. La idea ciertamente pasa por manejar dos funciones, aunque mi propuesta era manejar una función de una función. Permíteme que lo indique de esta otra manera: sea $f(x)$ la función para la cual queremos encontrar el polinomio de Taylor en torno a $x=a$. Construyamos la función auxiliar $y=x-a$ y consideremos el polinomio de McLaurin de la función compuesta de cierta $g(y)$ tal que $g(y)=g(x-a)=f(x)$, que será

$$\dst P_n(y)=g(0)+g'(0)y+\frac{1}{2!}g''(0)y^2+\frac{1}{3!}g'''(0)y^3+...+\frac{1}{n!}g^{n)}(0)y^n$$

Por la construcción anterior de las funciones tenemos que $g(0)=f(a)$, $g'(0)=f'(a)$, $g''(0)=f''(a)$, etc, (donde para las derivadas hemos hecho uso de la regla de la cadena y que la derivada de $y$ respecto de $x$ es la unidad).

Para tener el polinomio de Taylor de $f$, teniendo en cuenta que $y=0$ se corresponde con $x=a$, simplemente basta con substituir en (1) esas igualdades y hacer el cambio de variable $y=x-a$:

$$\dst P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2+...+\frac{1}{n!}f^{n)}(a)(x-a)^n$$

[alfred_oh]

Re: Duda sobre el Polinomio/Teorema de Taylor

No me gusta demasiado la primera expresión que pones, de las dos escritas a mano. La idea ciertamente pasa por manejar dos funciones, aunque mi propuesta era manejar una función de una función. Permíteme que lo indique de esta otra manera: sea $f(x)$ la función para la cual queremos encontrar el polinomio de Taylor en torno a $x=a$. Construyamos la función auxiliar $y=x-a$ y consideremos el polinomio de McLaurin de la función compuesta de cierta $g(y)$ tal que $g(y)=g(x-a)=f(x)$, que será

$$\dst P_n(y)=g(0)+g'(0)y+\frac{1}{2!}g''(0)y^2+\frac{1}{3!}g'''(0)y^3+...+\frac{1}{n!}g^{n)}(0)y^n$$

Por la construcción anterior de las funciones tenemos que $g(0)=f(a)$, $g'(0)=f'(a)$, $g''(0)=f''(a)$, etc, (donde para las derivadas hemos hecho uso de la regla de la cadena y que la derivada de $y$ respecto de $x$ es la unidad).

Para tener el polinomio de Taylor de $f$, teniendo en cuenta que $y=0$ se corresponde con $x=a$, simplemente basta con substituir en (1) esas igualdades y hacer el cambio de variable $y=x-a$:

$$\dst P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2+...+\frac{1}{n!}f^{n)}(a)(x-a)^n$$

Gracias por la explicación! Poco a poco lo voy entendiendo. Mas bien para asegurar que:
$g(0)=f(a)$, $g'(0)=f'(a)$, $g''(0)=f''(a)$
utilizas alguna propiedad? Lo pregunto porque no entiendo como se puede asegurar que si:
$g(y)=g(x-a)=f(x)$ entonces
$g(0)=g(x-a)=f(a)$ hasta ahí lo entiendo pero luego
$g'(y)=g'(x-a)(x-a)'=g'(x-a)=f'(x)$ Esto ultimo no se porque se cumple, es decir si dos funciones son iguales quiere decir que sus derivadas tambien son iguales? Por lo demas perfectamente explicado. Muchas Gracias y Feliz Año!

[arivasm]

Re: Duda sobre el Polinomio/Teorema de Taylor

Para tu primera pregunta: si $y=0$, como $y=x-a$, está claro que $x=a$. Para la segunda, como $g(y)=f(x)$ tenemos que $\dd g=\dd f$, por otra parte $\dd y=\dd x$, luego $\dst \frac{\dd g}{\dd y}=\frac{\dd f}{\dd x}$.

De todos modos, la mejor manera de entender a qué me refería sería la siguiente: imagínate la gráfica de $f(x)$ y elige un $x=a$ cualquiera. Si desplazas el eje Y de manera que el origen pase a estar en $x=a$ las pendientes, concavidades, etc.. serán exactamente las mismas, salvo que lo que antes se cumplía en $x=a$ ahora se cumplirá en el origen.