1r ciclo Error cometido en desarrollo de Taylor

[mariolp]

Buenas! Estoy haciendo unos cuantos ejercicios sobre derivabilidad y desarrollos de Taylor y en uno me preguntan lo siguiente:
Probar que el error cometido al sustituir $e^x$ por $1+x+\frac{x^2}{2}$ es menor que $\frac{1}{3} \cdot 10^-3$, si $\left\vert{} x \right\vert{} \leqslant \frac{1}{10}$

Es decir, al sustituir $e^x$ por los tres primeros términos de su desarrollo de Taylor se comete un error (eso está claro). Lo más lógico que se me ocurre es usar el resto de Lagrange para sacar ese error, pero tampoco sé en que punto evaluar la derivada. La evalúo en 0 porque el desarrollo que me dan esta hecho para $x=0$? O lo hago para un $\left\vert{} x \right\vert{} \leqslant \frac{1}{10}$? Y si lo hago de esta última manera pruebo el punto $\frac{1}{10}$ y uno por encima y otro por debajo o como?

PD: Sólo indicarme el procedimiento a seguir, no la solución
Un saludo y gracias de antemano

[guibix]

Re: Error cometido en desarrollo de Taylor

Buenas,

En el punto x=0 el error es nulo, ya que las dos funciones pasan por ése punto.

Yo lo probaría con $|x|=1/10$ y con $|x|=1/9$ (por ejemplo).

También puedes probar a resolverlo con la inecuación

$|e^x-(1+x+\frac{x^2}{2})|\leqslant \dfrac 1 3 10^{-3}$

No me lo he mirado a fondo, pero yo lo enfocaría así. Claro que podría haber otro método más directo y eficaz que ahora no veo.

Saludos.

[arivasm]

Re: Error cometido en desarrollo de Taylor

Recuerda que el resto de Lagrange se evalúa entre el punto de desarrollo y el de cálculo. Por tanto, para acotar el error lo mejor es que emplees el valor más alto que puede adoptar dicho error. En tu caso se trata de encontrar el valor más alto que puede adoptar $\dst\left|\frac{1}{6}\ee^a\left(\frac{1}{10}-a\right)^3\right|$ en el intervalo $(0,\frac{1}{10})$. Te resultará fácil comprobar que el máximo valor corresponderá con a=0, con lo que puedes acotar el error usando dicho valor.