Secundaria Sobre factoriales

[eduardo2384]

Saludos amigos, quisiera que me ayudaran con sugerencias para resolver el siguiente problema en el que estoy atascado, dice así:

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Calcular la suma límite:

$S=\dfrac{1}{2\times1!}+\dfrac{3}{2^2\times3!}+\dfrac{5}{2^3 \times 5!}+\ldots$






Posibles respuestas:

a)2
b)10
c)1
d)4
e)3

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Lo que intenté es multiplicar a todo por 2 y luego tratar de dar forma a los numeradores:

$2S=\dfrac{2\times1}{2\times1!}+\dfrac{2\times3}{2^2\times3!}+\dfrac{2\times5}{2^3\times5!}+\ldots$

$2S=1+\dfrac{4-1}{2\times3!}+\dfrac{6-1}{2^2\times5!}+\ldots$

$2S=1+\dfrac{4}{2\times3!}-\dfrac{1}{2\times3!}+\dfrac{6}{2^2\times5!}-\dfrac{1}{2\times5!}+\ldots$

Pero luego no se como agrupar o que hacer. ¿que ideas me pueden dar?

Gracias

[rruisan]

Re: Sobre factoriales

es una serie indefinida? en ese caso la respuesta deberia de quedar en terminos de sumatoria y factorial.

[Al2000]

Re: Sobre factoriales

...
Lo que intenté es multiplicar a todo por 2 y luego tratar de dar forma a los numeradores:
...

Trata esto: después de que multipliques por 2, cancela el dos del numerador con uno del denominador; también simplifica el otro factor (3, 5, ...) con el factorial en el denominador. Compara la suma que te queda con el desarrollo en series de potencias del coseno hiperbólico.

Saludos,

Al

PD. Disculpa, hice lo que te sugerí y el valor que obtuve es S = 0.6303 que no coincide con ninguna de las respuestas que ofreces.

[eduardo2384]

Re: Sobre factoriales

Al paecer esas posibles respuestas están equivocadas.

[neclord02]

Re: Sobre factoriales

Tiende a 1:

$2S= 1 + \frac{1}{2*2!} + \frac{1}{4*4!} + \frac{1}{8*6!} +...+ \frac{1}{(2*n)!*{2}^{n}}$

1+ la expresion general que tiende a 1 y volver a dividir por 2.

El factorial es 1*2*3*...*n si tienes n arriba si simplificas te quedara 1*2*3*...*n-1.

Un saludo.

[Breogan]

Re: Sobre factoriales

Hola:

No hice el desarrollo del problema, pero halle el resultado con un soft de matemática y me dio el mismo resultado que a Al, mas exactamente 0,630296. Transcribo la formula genérica de la sucesión que yo use, para descartar que haya cometido un error en ella:

$\dst S\ =\ \sum_{n = 1}^\infty \frac {2n-1}{2^n\ (2n-1)!}$

Suerte