Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

[angel relativamente]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Si se me permite aventurar una cosa gdonoso, el resultado de la integral es el campo eléctrico que crea un hilo de longitud 2a sobre un punto de su mediatriz, ¿me equivoco?

Si es eso, la solución se puede obtener dándole un sentido "más físico". En realidad, es equivalente a lo que hace pod, pero tomando desde un principio las variables angulares. Si llamas $\theta$ al ángulo formado entre la horizontal (el hilo) y la recta que une un $\dd l$ con el punto donde estás calculando el campo, los límites de integración salen solos (el ángulo máximo y mínimo se ve bien claro en el dibujo) y $\dd l = (x^2+y^2)^{1/2} \dd \theta$. Además, en los límites no tienes por qué escoger la arcotangente, también sirve el arcoseno o arcocoseno, ya que tienes variables para los 3 lados del triángulo, y se simplifica bastante la trigonometría.

Un saludo

[gdonoso94]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

No entiendo, me has pillado muy espeso esta noche. Podrías desarrollarlo un poco más? jajaj

P.D.: Has dado en el clavo

[angel relativamente]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

La resolución de este mensaje no se corresponde al problema:

No me atrevía porque lo tengo resuelto pero con otra notación a la tuya (y me acabo de dar cuenta que he hecho un mezclete de ambas en el anterior mensaje). Voy a ver si me explico utilizando tu notación (deduzco que tienes el hilo en vertical, al contrario que yo, ya que integras sobre y, y que x es la distancia a la que se encuentra el punto):

Escogemos un $\dd y$ del hilo y vemos el campo eléctrico que crea sobre un punto de la mediatriz del hilo. Dicho campo vale $\dd E = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\cdot \dfrac{\dd q}{x^2+y^2}$. Llamando $\theta$ al ángulo que forma el eje x con la dirección del campo, tienes por un lado que $\sqrt{x^2+y^2} = \dfrac{x}{\cos \theta} \Rightarrow x^2 + y^2 = \dfrac{x^2}{\cos^2 \theta}$. Por otro lado, nota que $\dd q = \lambda \dd y =\lambda (x^2+y^2)^{1/2} \dd \theta = \dfrac{x \lambda \dd \theta}{\cos \theta}$. Sustituyendo esta expresión queda:

$$\dd E = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\cdot \dfrac{\dfrac{x \lambda \dd \theta}{\cos \theta}}{\dfrac{x^2}{\cos^2 \theta}} = \dfrac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 x}\cdot \cos \theta \dd \theta$$

Ahora los límites de integración ya no son los extremos del hilo, sino los ángulos máximos que forman en los extremos, que con un poco de trigonometría estarás de acuerdo en que $\pm \theta^{*}=\pm \arcsin \left(\dfrac {a}{\sqrt{x^2+a^2}} \right)$. En conclusión:

$E= \dfrac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 x}\cdot \dst \int_{-\theta^{*}}^{\theta^{*}} \cos \theta \dd \theta = \dfrac{a\lambda}{2\pi \epsilon_0 x\sqrt{x^2+a^2}}$, que si no me he equivocado es lo que ha de dar.

Cualquier duda pregunta.

Saludos

[gdonoso94]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Más o menos entiendo bien lo que haces, pero hay un punto en el que me pierdo, por qué haces:

$\dd y= (x^2+y^2)^{1/2}\dd\theta$ ?

Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Naturalmente que no lo entiendes porque hay un par de fallos graves que en un rato rectificaré. Un saludo y lo siento

- - - Actualizado - - -

En efecto, consideré erróneamente dos cosas, que al hacer mezcla de notación y un poco de (mala) memoria salió un disparate con el que me contenté al darme la solución correcta. La primera, que lo que hay que calcular es la proyección del campo en el eje x (para que en efecto dé la ecuación que proponías al principio del hilo). La segunda, la relación $\dd y= (x^2+y^2)^{1/2}\dd\theta$ solo es válida si el $\dd y$ recorriese un arco de circunferencia y no una cuerda de la misma (sale de que si $y$ es la longitud del arco barrida, $y= (x^2+y^2)^{1/2}\theta$). La relación correcta para este caso es fácil de obtener, ya que si te fijas en la geometría, $\tan \theta = \dfrac y x \Rightarrow \dd y = \dfrac{x}{\cos^2 x}\dd \theta$, que coincide con lo que proponía pod, solo que lo veo más cómodo de tratar con el coseno que con la tangente.

El campo que crea un elemento diferencial en el eje de abcisas estarás de acuerdo que es

$$\dd E_x = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\cdot \dfrac{\dd q}{x^2+y^2}\cdot \cos \theta$$

.

Sustituyendo ahora las relaciones trigonométricas que hemos obtenido en el anterior mensaje con las correcciones de este tenemos que:

$$\dd E_x = \dfrac{\lambda}{4\pi x \epsilon_0}\cdot \cos \theta \dd \theta$$

Que integrando con los límites antes propuestos sale directamente la solución del anterior mensaje.

¡Saludos!

[gdonoso94]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Ya me planté a hacerla y tras mucho investigar la respuesta de pod conseguí hacerla. Pero la verdad que es bastante más fácil como tu lo has visto, evitas los cambios de variable que son algo molestos.
Muchas gracias!