1r ciclo Convergencia de Series: Alguien me explica la solución propuesta por el libro

[alfred_oh]

Buenas a todos!
Tengo que analizar la convergencia de esta serie:

La solución que me da el libro es la siguiente:
Se trata de una serie geométrica de la siguiente manera:

Esta serie converge siempre y cuando se cumpla

y además

Por lo tanto a>(-1/2)
Alguien me explica por qué se tiene que cumplir estas dos condiciones y como se obtiene que a>(-1/2)? Gracias! SI me pueden decir en que libro encuentro la explicacion lo agradecería!

[Trantidon]

Re: Convergencia de Series: Alguien me explica la solución propuesta por el libro

Hola, te advierto que mi conocimiento respecto a este tema es bastante limitado, pero voy a intentar ayudarte.

En primer lugar, creo que has copiado la siguiente parte mal:

Según mi entendimiento en ese "1" del numerador debería ser una "a" puesto que si resolvemos la inecuación tal y como tú la has copiado, nos da que "a" esta contenido en el intervalo (-inf , -2) U (0 , +inf) y a menos que la haya resuelto mal, lo cual no es improbable, esto no coincidiría con el resultado de a > -0.5 que según mis cálculos es correcto.

Esto puedes comprobarlo dando valores entre 0 y -1/2 como por ejemplo -0.1 el cual no está contenido en el intervalo anterior y sin embargo hace que se serie converja, hacia -0.1388... si no me equivoco.

La segunda desigualdad sería el desarrollo de la primera, si estuviera escrita como te he comentado, el denominador pasaría multiplicando a la derecha y quedaría esto. Es necesario que esta igualdad se cumpla, puesto que cualquier número mayor que 1, elevado a un número cuando este tiende a infinito es igual a infinito, si el número está comprendido entre 0 y 1 el resultado tenderá a 0(los negativos son caso aparte puesto que un número negativo elevado a exponente par es positivo...).

Con esto dicho es necesario que el término elevado a "n" sea menor que 1 para que sea convergente.

a > -1/2 se obtiene resolviendo la inecuación |a| < |a + 1|.
quitamos el valor absoluto:

a < a + 1 si 0<a se van las "a", compruebo con un valor positivo de "a", la inecuación es correcta (0, +inf) es solución
-a > a + 1 si -1<a<0 nos da la solución a > -1/2 a contenida (-1 , 0)
-a < -a - 1 si a < - 1 se van las "a", compruebo con un valor menor de -1 de "a", la ecuación no se cumple, no hay solución en este intervalo

si unimos todas las soluciones obtenemos a > -1/2

al resolverla nos da la solución a > -1/2

La suma de los n términos de una serie geométrica viene dada por


Aquí puedes ver que "r", la razón debe ser menor que uno puesto que de lo contrario saldria un resultado infinito ya que r^n con r > 1 es infinito.
si es convergente r^n = 0 por tanto la nueva fórmula es:


Espero haberte ayudado, ten en cuenta que me he podido equivocar pero sigo creyendo que has copiado mal la primera inecuación ya que la serie converge para valores de 1/(a+1) menores de 1.
[FONT=arial][/FONT][FONT=arial]

[/FONT]