1r ciclo Limite de varias variables

[gdonoso94]

Hola:

Tengo un problemilla con este límite que no consigo resolver. Según la solución del libro tiene que dar 0, pero no consigo llegar a ello. El límite en cuestión es:

$\dst \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\cos(xy)-1}{x}$

Lo he pasado a polares consiguiendo tener:

$\dst \lim_{r\to 0}\frac{\cos(r^2\cos(\theta)\sin(\theta))-1}{r\cos(\theta)}$

Pero sigo sin llegar a ningún lado. Alguien podría echarme una mano?

Mil gracias.

Un saludo!

[Pepealej]

Re: Limite de varias variables

En vez de usar polares puedes tomar $y$ como una curva en función de $x$, por ejemplo $y=mx$. Si lo haces te quedaría:

$\dst \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\cos(xy)-1}{x}=\dst \lim_{x\to 0} \frac{\cos(mx^2)-1}{x}$

Usa L'Hôpital y te dará 0.


Saludos!

[gdonoso94]

Re: Limite de varias variables

Muchas gracias Pepealej!

Alguien sabe alguna otra forma evitando la restricción?

Gracias

[ZYpp]

Re: Limite de varias variables

Lo he pasado a polares consiguiendo tener:
$\dst \lim_{r\to 0}\frac{\cos(r^2\cos(\theta)\sin(\theta))-1}{r\cos(\theta)}$

Expandiendo el coseno:

$$\cos \left( r^2 sin\theta cos \theta \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( -1 \right) ^n \frac{\left( r^2 \sin\theta \cos\theta \right)^{2n}}{2n!}=1-\frac{r^4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta}{2}+O\left( r^8\right)$$

Sustituyendo:

$$\dst \lim_{r\to 0}\frac{\cos(r^2\cos(\theta)\sin(\theta))-1}{r\cos(\theta)} = \lim_{r\to 0}\frac{1-r^4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta-1 + O\left( r^8\right) }{r\cos(\theta)}$$

Escrito así, ya se ve que el límite tiende a cero. De todas formas, para terminar la faena sólo tienes que escribir que $O\left( r^8 \right)$ tiende a 0 mucho más rápido que $r \cos \theta$, con lo cual se desprecia (sobre todo frente a $r^4$. Al final el límite queda:

$$\lim_{r\to 0}\frac{-r^4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta}{r\cos(\theta)} = \lim_{r\to 0} -r^3 \sin ^2 \theta \cos \theta = 0$$

para cualquier valor de $\theta$.

Saludos.

[gdonoso94]

Re: Limite de varias variables

Perfecto, no había caído en la expansión por Taylor.

Muchas gracias!