1r ciclo Integrar con Taylor

[Physicist]

Muy buenas!

Hoy mientras intentaba resolver algunos ejercicios he llegado a algunas integrales que tenían dentro exponenciales o funciones trigonométricas, que de primeras no podía integrar.
Igual mi duda es muy estúpida pero, ¿se podría hacer un desarrollo de Taylor para estas funciones y luego integrar? De estos ejercicios me interesaba el resultado numerico de las integrales, así que la forma final me daba un poco igual.

Gracias!

[gdonoso94]

Re: Integrar con Taylor

En efecto la integración puedes realizarla aproximando la función con el desarrollo de Taylor, pero ten en cuenta que esto es sólo una aproximación. Si buscas un resultado bastante exacto puede que necesites integrar la función original. Para evitar un resto muy grande aproxima a un grado relativamente alto.

Un saludo.

[Physicist]

Re: Integrar con Taylor

Muchas gracias!! Saber esto me ha salvado de hacer bastantes cálculos un tanto farragosos xDD

¿Hay alguna restricción? Tipo una combinación especial de funciones o alguna que el método no se pueda aplicar

[gdonoso94]

Re: Integrar con Taylor

Sinceramente, no lo sé. Sé que se puede aproximar la integral de una función porque en computación científica un ejercicio se basaba precisamente en eso, pero no sé nada más. Lo siento .

Seguro que algún otro forero sabe perfectamente lo que hacer. Pero vamos, juraría que no hay ningún problema en aproximar cualquier tipo de función a su correspondiente desarrollo por Taylor.

Saludos!

[ZYpp]

Re: Integrar con Taylor

Estáis mezclando churras con merinas, creo yo. Lo primero, aunque supongo que ya lo sabréis pero no está de más enfatizarlo, es que la serie de Taylor generada por una función es:

$$f\left( x \right) \sim \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{\left( n \right)}\left( c \right)}{n!}\left( x-c\right)^n$$

La pregunta es, ¿cuándo podemos sustituir el símbolo $\sim$ por el símbolo $=$? Sabréis (y si lo no sabéis os lo digo yo), que esto es posible cuando se cumple la condición, para un $p$ desconocido:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{f^{\left( n \right)}\left( p \right)}{n!}\left( x-c\right)^n = 0$$

En cuyo caso, la serie funcional converge a la función que la genera. En este caso, el desarrollo de Taylor implica un igual estricto y, como tal, de aproximación no tiene nada. El resultado de integrar, si se pudiese, término a término esa serie arribaría en una solución exacta.

Ahora, ¿cuándo se puede integrar término a término la serie? Pues siempre y cuando el intervalo de integración esté dentro del intervalo de convergencia de la serie. La razón es que cualquier serie de potencias, como es el caso de la serie generada por Taylor, converge absolutamente para cada $x$ contenido en el intervalo de convergencia, y además converge uniformemente en cada subconjunto compacto del mismo. Además, la propiedad de continuidad también se transfiere: Si cada término de la serie de potencias es continuo en el intervalo de convergencia (y lo es), entonces la función suma también es continua.
Escrito en términos matemáticos: Para cada $x$ de $\left( x_0 - r, x_0 +r\right)$, con $\left( x_0 - r, x_0 +r\right)$ el intervalo de convergencia (y, consecuentemente, con $r$ el radio de convergencia), se tiene que:

$$\int_{x_0}^x f\left( t \right) \dd t = \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{\left( n \right)}\left( c \right)}{n!} \int_{x0}^x \left(t-x_0\right)^n \dd t$$

Saludos.

Edito: Ni que decir tiene que fuera del intervalo de convergencia la serie de potencias diverge y se va todo a tomar por saco. Fuera de eso no se puede integrar término a término y esperar que el resultado sea igual a la integral de la función generadora de la serie.

[gdonoso94]

Re: Integrar con Taylor

Mil gracias por la aclaración ZYpp, sabía que algo había por lo que en algún caso no se podía hacer. Esperemos que nuestro amigo Physicist lo lea y compruebe la convergencia de la serie antes de integrar.

Un saludo!

[Physicist]

Re: Integrar con Taylor

Muchas gracias por contestar!! La verdad es que aún no se hacer divergencias (aprenderé a finales de este semestre), así que posiblemente me reserve este método para más adelante, no vaya a ser que la líe... xD

Saludos!

[gdonoso94]

Re: Integrar con Taylor

De todas maneras, te recomiendo que integres con WolframAlpha, si no sabes como (que lo dudo) envíame un privado y te lo explico.

Saludos

[Physicist]

Re: Integrar con Taylor

Sisi, se integrar con wolframAlpha, de hecho es lo que uso para comprobar las eq. diferenciales y estas cosas, pero en un examen no tendré ese apoyo. Solo quería saber esta manera, aparentemente más sencilla, que me podría salvar la vida en un ejercicio que no supiese resolver directamente