Otras carreras ángulo entre N y vectores unitarios.

[AhmirM]

Hola, me han mandado hacer el siguiente ejercicio y me pregunto si me podéis ayudar;

Considere la superficie x²/4+y²/9+z²/36=1
En que puntos forma su normal ángulos iguales con los tres vectores unitarios
i, j y k?


Saludos,

[ZYpp]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

Podemos, ¿qué duda exacta tienes?

[AhmirM]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

Nono, que no sé cómo hacerlo.

[ZYpp]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

$\nabla f \left( x,y,z \right) = (1,1,1)$

[AhmirM]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

Em..? ¿Podrías explicarme qué es eso o qué procedimiento has seguido para hacerlo? Me gustaría entender el ejercicio...

Pd: Gracias por responder.

[ZYpp]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

Perdona, leí mal el ejercicio. Corrijo y de paso explico un poco.

Primero, la superficie que has puesto se puede escribir como $f \left( x,y,z \right) = \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{36}-1=0$. Una vez sabido esto, el vector normal a la superficie viene dado por el gradiente:

$$\vec n = \nabla f \left( x,y,z \right)$$

y, consecuentemente, el vector unitario normal a la superficie viene dado por

$$\hat n = \frac{\nabla f \left( x,y,z \right)}{\left\vert{} \nabla f \left( x,y,z \right)\right\vert{}}$$

Por último, puedes calcular el coseno que forma ese vector con cualquier otro mediante

$$<\hat n , \hat u > = \left\vert{} \hat n\right\vert{} \left\vert{} \hat u\right\vert{} \cos \left( \phi \right)=\cos \left( \phi \right)$$

Con esto debería ser suficiente para que sepas seguir, ¿no?

EDITO:

De milagro (porque no había leído bien el problema), esto también ha de cumplirse.

[AhmirM]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

Precisamente, ayer intenté hacerlo por mi cuenta y llegué a hacer justo donde tú... luego no supe cómo poner esa condición del ángulo igual para los vectores unitarios ijk y sacar los puntos que me pide.. ¿Podrías ayudarme..?

Pd: Muchas gracias

[javier m]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

Pues, todo vector de la forma $\alpha (1,1,1)$ cumple la condición de que sus angulos con los vectores i,j,k son iguales.

Dado que el gradiente es normal a la superficie, este debe cumplir que

$\nabla f(x,y,z)=\alpha (1,1,1)$

De modo que

$\frac{x}{2}=\alpha$

$\frac{2y}{9}=\alpha$

$\frac{z}{18}=\alpha$

más la ecuación del elipsoide

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{36}=1$

forman cuatro ecuaciones con 4 incognitas, halla $x,y$ y $z$

[Elkin]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

supongo hace falta

$\vec{\nabla} f(x,y,z)=\alpha (1,-1,1)$[FONT=fixed]
[/FONT]$\vec{\nabla} f(x,y,z)=\alpha (1,-1,-1)$[FONT=fixed]
[/FONT]$\vec{\nabla} f(x,y,z)=\alpha (-1,1,1)$[FONT=fixed]
[/FONT]

[javier m]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

supongo hace falta

$\vec{\nabla} f(x,y,z)=\alpha (1,-1,1)$[FONT=fixed]
[/FONT]$\vec{\nabla} f(x,y,z)=\alpha (1,-1,-1)$[FONT=fixed]
[/FONT]$\vec{\nabla} f(x,y,z)=\alpha (-1,1,1)$[FONT=fixed]
[/FONT]

No, no creo que falten, por ejemplo en el primero que pones el angulo que forma el vector con i (o con k) es de 54,7°, mientras que con j es 125,2°

[Elkin]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

Tienes razón, había cometido la equivocación de pensar que se referían era a los ejes x, y, z. Y no a los vectores unitarios como tal.

[AhmirM]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

Me da 2 puntos: A=$(\frac{6\sqrt{85}}{ 85},\frac{27\sqrt{85}}{85},\frac{9\sqrt{170}}{85})$

B = $(\frac{-6\sqrt{85}}{ 85},\frac{-27\sqrt{85}}{85},\frac{-9\sqrt{170}}{85})$

No sé si están bien, ¿Lo podéis comprobar please?

[javier m]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

No, ese punto ni siquiera está en el elipsoide,

coge las 3 penultimas ecuaciones del mensaje #8 y reemplazalas en la ultima, de ahí deberias obtener que $\alpha=+-2/7$
De modo que

$x=+-4/7$
$y=+-9/7$
$z=+-36/7$

[AhmirM]

Re: ángulo entre N y vectores unitarios.

Muchísimas gracias a todos ! Lo entendí perfectamente.

Gracias por vuestra paciencia.