1r ciclo Divergencia y Convergencia

[AlejandroR]

Hola, he leído en teoría que si f(x)<g(x) y g(x) diverge entonces f(x) tambien lo hace,


Valey g(x) entiendo como función anexa a la principal, osea por ejemplo x(x^2+2) podría ser x=g(x), no?


Ahora tengo el ejemplo $\displaystyle\int_{1}^{\infty}(x+1)/(x^2+3)dx$ dice que es divergente ya que g(x) =1/x diverge, entonces (x+1)/(x^2+3) también.




Y mi pregunta es, de donde saca ese g(x)??




Gracias, un saludo!

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

Son funciones concretas de las que se sabe su comportamiento, entonces acotas con ellas.

Un saludo!

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

Hola, pero de donde sale esa g(x)

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

Para comprobar la convergencia o divergencia de integrales impropias puedes acudir directamente a la definición, que es utilizando el concepto de límite de la integral; o puedes acotar superiormente tu f(x) y si demuestras acotándola que es menor o igual a una dada, de la cual sabes si converge o diverge (en este caso $\frac{1}{x}$), esta última se comporta como tal.

Ese no es el único criterio que existe, pero es uno muy utilizado.

¿Es esa tu pregunta?

Un saludo.

P.D: En el ejemplo que has puesto g(x) sería $x^3$, no sólo $x$.

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

no, hehe, era de como se sabe que g(x) es 1/x, pero veo que no tengo ni idea sobre el g(x), porque pensaba que era en el ejemplo el x.

Porque el g(x) es x^3 y no x y f(x)= (x^2+2)? eso es lo que no entiendo ahora hehe

un saludo!

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

A ver, por partes.

Tu función es $\frac{x+1}{x^2+3}$. Está claro que en la integral el problema está en el infinito, que no se conoce su comportamiento (en 1, se ve que la función no posee discontinuidades ni nada). Cuando tiende a infinito esa función, el "+3" del denominador como que es un poco indiferente, ya que infinito al cuadrado más3 es infinito, muy grande aún. Ahora bien, hay que seguir acotando:

$$\frac{x+1}{x^2}\le \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$$

En el otro caso, tendrías que ver por decirte de alguna manera *la x de mayor grado*.

Un saludo!

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

ah , osea que el 1/x viene de simplificar por eso de que, al tener a infinito el 3 y el 1 no sirve prácticamente y queda x/x^2 ?y por eso?

entonces en este ejercicio... integral de 0 a infinito,(x+2)/(2x^4+3x^2+2) converge porque el de abajo es mayor que el de arriba, por lo tanto tiende a 0, no? pero ahora poner la función de g(x)= 1/(2x^4+3x^2+2)???

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

No es simplificar, es acotar.

La función g(x) en ese ejemplo sería $g(x)=\frac{1}{x^3}$

No sabría si converge o diverge ahora mismo, tendría que echar un ojo a los apuntes, pero creo que sí, que converge, precisamente -si no recuerdo mal- hacia 1/2.

Un saludo.

P.D.: No hagas mucho caso al resultado de la convergencia, quizá esté equivocado.

- - - Actualizado - - -

No es simplificar, es acotar.

La función g(x) en ese ejemplo sería $g(x)=\frac{1}{x^3}$

No sabría si converge o diverge ahora mismo, tendría que echar un ojo a los apuntes, pero creo que sí, que converge, precisamente -si no recuerdo mal- hacia 1/2.

Un saludo.

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

No entiendo exactamente lo de "acotar" para que te salga esa g(X)..

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

Se trata de acotar esa función superiormente, para demostrar que es menor o igual a la g(x), no tiene más vuelta. Si tú consigues demostrar que es menor o igual, el comportamiento es el de g(x), eso es acotar, fundamentalmente.

Un saludo.

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

sí, pero el caso es comoencontrar ese g(x) es lo que no veo bien... porque si pones una función que siempre sea 1/x = g(x) ... vale lo entiendo.. o se puede poner siempre comog(x) = 1/x?

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

Nunca digas siempre.

Si demuestras acotando con el símbolo < que tu función es menor que 1/x, está bien, si no puedes demostrarlo, no.

Creo que deberías repasar el tema de cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo.

Un saludo

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

ah vale, creo que entiendo, osea que g(x) te lo puedes "inventar" ? osea que puede ser como 1 , 1/x, 1/x^4.... claro que siempre y cuando sea mayor o igual a la función original?

Por ejemplo, en f(x) = 1/x^4, y g(x) = 1/x^3 como 1/x^2 como 1/x no? y f(x)<g(x) , no?

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

Sí, te lo puedes inventar pero tiene que ser mayor o igual que tu función. Exactamente lo que has dicho. El tema es que suele haber funciones "predefinidas" de las que se conoce su comportamiento, por tanto se suelen usar esas.

Esa f(x) que has puesto sería una función idónea para comparación, ya que hay criterios que dicen que la integral converge de 1 a infinito.

Un saludo

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

ah vale, entiendo ahora! pensé que se sacaba de la propia función, como cuando haces integración por partes que de una h(x) sacas su f(x) y g(x).

Muchas gracias!

- - - Actualizado - - -

\intuna preguntita.. en esta integral :[tex]\int de 0 a infinito \frac{( x+2)}{2x^4+3x^2+2 }dx .
[\tex]
poniendo como [tex]g(x) = x^2[\tex] y [tex]\lim_{b \to \infty} de \int 0 a b de x^2[\tex] que da [tex] b^3/3-0[\tex] con el limite da a infinito, por lo tanto diverge.
y como f(x)<g(x) , por lo tanto f(x) diverge.


Está bien ??


un saludo!