2o ciclo Duda existencial con este problema de cálculo integral

[Grho]

Hola a todas.
Estuve haciendo un problema de mecánica que se reducía a calcular algunas integrales de volumen... lo he hecho por integración directa y me ha salido bien (porque en el libro que estaba utilizando venía la solución) pero a lo hora de comprobar el resultado y de repetir el ejercicio por otros métodos me dan cosas distintas y no sé porque.

El problemilla es el siguiente. Calcular las coordenadas X e Y del centro de masas de la siguiente pieza de densidad uniforme:


En principio, dada la simetría mencionadas coordenadas son iguales. Por otra parte, debo de calcular el siguiente conciente:

$X_{cdm}=\frac{\iiint x dV}{\iiint dV}$

El denominador es el volumen total. Trabajando en coordenadas cilindricas y calculando lo siguinte, se tiene que el volumen total es:

$V=\iiint \rho\rho d\theta dz=\int_a^{2a}\rho d\rho\int_0^{\pi/2}d \theta\int_{\rho-a}^a dz=\frac{\pi a^3}{3}$

Como digo, supongo que estará bien porque el resultado final me da bien.

El caso es que si observamos el dibujo, el volumen se podría sacar en principio de la manera siguiente: la pieza es un cacho de cilindro con un hueco concéntrico partido por la mitad, por lo tanto, el volumen es el área de la corona de abajo por la altura partido por dos (porque es la mitad) y dividido después entre 4 porque es un solo cuadrante:

$V = ((\pi (2a)^2-\pi a^2)a/2)/4=\frac{3\pi a^3}{8}$

Y como podéios ver, los resultados no coinciden... ¿qué es lo que pasa?

Además, intenté hacer el problema eligiendo otro diferencial de volumen. Por ejemplo este: $dV=\frac{a^2}{2}\rho d\theta$, es decir, el área de un triángulo como resultado del corte transversal por el arco. Luego se tendría que sumar a todos los radios y ángulos... también me dan cosas raras... ¿este diferencial de volumen está mal planteado? ¿por qué?

Bueno, espero que me echéis un cable en este problema que encima tengo bien hecho...

[mariolp]

Re: Duda existencial con este problema de cálculo integral

Hmm no sé como lo has hecho de la forma geométrica, pero te pongo mi manera,
Tenemos que el volumen de un cono truncado es:

${V}_{cono} = \frac{1}{3}\pi h ({R}^{2}+{r}^{2}+Rr)$,
de donde h es la altura, R el radio mayor (el de la base, en tu dibujo es el de la parte de arriba) y r el radio menor.
En tu figura tenemos que h=a, r=a, R=2a, por lo tanto:

${V}_{cono}=\frac{7}{3}\pi{a}_{3}$

Ahora tenemos que eliminar el cilindro concéntrico, cuyo volumen es

${V}_{cilindro}=\pi{r}^{2}h$

Que en tu problema quedaría como

${V}_{cilindro} = \pi{a}^{3}$

Restando uno a otro queda

${V}_{cono}-{V}_{cilindro} = \frac{4}{3}\pi{a}^{3}$

Como tienes un cuadrante divides por 4 y tienes el volumen de tu bicho

$V = \frac{\pi{a}^{3}}{3}$

[Grho]

Re: Duda existencial con este problema de cálculo integral

Ostia... es verdad, es un mísero cono. Ese apaño que he planteado esta mal. Ok, ok,...

¿Qué hay con respecto al diferencial de volumen que planteo? ¿Cómo se podría realizar con un diferencial de volumen "plano"?

[ZYpp]

Re: Duda existencial con este problema de cálculo integral

Ostia... es verdad, es un mísero cono. Ese apaño que he planteado esta mal. Ok, ok,...

¿Qué hay con respecto al diferencial de volumen que planteo? ¿Cómo se podría realizar con un diferencial de volumen "plano"?

Efectivamente está mal planteado. Esa $\rho$ no debería estar ahí, si no que debería ser la distancia al centro de masas de la figura plana. Otra vez tendrías que hacer un razonamiento análogo para encontrar ese centro de masas. Sabiendo que es el baricentro por tener una densidad constante, el centro de masas se encuentra a una distancia de $\frac{a}{3}$ respecto de la base del triángulo (tomando la base como la que es colineal con el eje z), de forma que se tiene $\rho = a + \frac{a}{3} = \frac{4a}{3}$ con lo que el diferencial de volumen es:

$$\dd V = \frac{a^2}{2}\rho _{CDM} \dd \theta = \frac{a^2}{2} \frac{4a}{3} \dd \theta = \frac{2a^3}{3} \dd \theta$$

Y el volumen se obtiene integrando en $\theta$, dando el resultado esperado:

$$V = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \dd V = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \frac{2a^3}{3} \dd \theta = \frac{2a^3}{3} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^3}{3}$$

Saludos.

[Grho]

Re: Duda existencial con este problema de cálculo integral

No entiendo muy bien porque se pone el área del triángulo (el $a^2/2$) por el radio del cdm... no le he visto por ahí planteado de esa manera. Lo pensaré un poco... pero agradecería algún otro ejemplo o explicación adicional.

[abuelillo]

Re: Duda existencial con este problema de cálculo integral

El caso es que si observamos el dibujo, el volumen se podría sacar en principio de la manera siguiente: la pieza es un cacho de cilindro con un hueco concéntrico partido por la mitad, por lo tanto, el volumen es el área de la corona de abajo por la altura partido por dos (porque es la mitad) y dividido después entre 4 porque es un solo cuadrante:
$V = ((\pi (2a)^2-\pi a^2)a/2)/4=\frac{3\pi a^3}{8}$
Y como podéios ver, los resultados no coinciden... ¿qué es lo que pasa?

El razonamiento casi es bueno, donde falla es en la division por 2. El error esta en suponer que el volumen de un cilindro hueco con radio 2a seria el doble del volumen que queremos calcular, casi parece logico que si tenemos un cilindro hueco y lo cortamos diagonalmente como en la figura, nos quedarian 2 conos truncados simetricos con el mismo volumen, pero no es asi.

Aunque la superficie de los dos triangulos que aparecen si hacemos un corte en un cilindro hueco para generar el cono de la figura es la misma, porque los dos triangulos son simetricos, el volumen generado por los dos triangulos si los giramos en el espacio es distinto, ya que los dos triangulos no tienen el lado paralelo al eje de rotacion a la misma distancia del eje.

Ese lado al rotarlo genera mas volumen en uno de los triangulos (por estar mas alejado del eje de rotacion) que en el otro triangulo.