1r ciclo Transformar integral de superficie mediante teorema de Gauss

[kuvala]

Hola Buenas

¿Cómo se podría transformar la siguiente integral de superficie en una integral de volumen mediante el teorema de Gauss?

${\int}_{ S}\rho\vec{v}(\vec{v}\cdot \vec{n})dS$

Yo he pensado que se podría hacer mediante notación matricial y después ponerlo en notación vectorial, pero no he sacado demasiada punta a ello, entre otras cosas porque no sé como ponerlo después en notación vectorial. Lo que he hecho ha sido esto:

${\int}_{ S}\rho v({v}^{T }n)dS$=${\int}_{ V}\nabla(\rho v{v}^{T })dV$

Muchas gracias.


Un Saludo

[ZYpp]

Re: Transformar integral de superficie mediante teorema de Gauss

Antes de nada, reiterarte que el teorema se conoce como Teorema de la divergencia de Gauss y, por tanto, hay una divergencia. Siempre me pones un gradiente donde debería haber una divergencia. La notación es importante y esto no es ser tiquismiquis: Al ser un operador cambia totalmente el significado al poner el punto. Lo repito aunque me supongo que ya lo sabes, pero nunca está de más. Volviendo al tema, atendiendo únicamente al integrando (me imagino que esto serán las ecuaciones de Navier-Stokes y, de no serlo así, corrígeme):

$$\nabla \cdot \left( \rho \vec v \otimes \vec v \right) = \vec v \left( \nabla \cdot \rho \vec v \right) + \rho \vec v \cdot \nabla \vec v$$

Si tenemos en cuenta la ecuación de continuidad, $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \vec v = 0$, la expresión anterior nos queda como:

$$\vec v \left( \nabla \cdot \rho \vec v \right) + \rho \vec v \cdot \nabla \vec v = -\vec v \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \vec v \cdot \nabla \vec v$$

Con esto ya está este término escrito de forma adecuada para introducir en el resto de la ecuación de la cantidad de movimiento en forma diferencial. Para finalizar, y por curiosidad, si tenemos en cuenta que este término va sumado a la variación con el tiempo de la cantidad de movimiento:

$$\frac{\partial \rho \vec v}{\partial t} -\vec v \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \vec v \cdot \nabla \vec v = \rho \frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho \vec v \cdot \nabla \vec v = \rho \frac{D \vec v}{D t}$$

Aplicando el operador derivada sustancial.

Saludos y espero haber sido de ayuda.

[kuvala]

Re: Transformar integral de superficie mediante teorema de Gauss

Antes de nada, reiterarte que el teorema se conoce como Teorema de la divergencia de Gauss y, por tanto, hay una divergencia. Siempre me pones un gradiente donde debería haber una divergencia. La notación es importante y esto no es ser tiquismiquis: Al ser un operador cambia totalmente el significado al poner el punto.

Sí, llevas razón. Muchas gracias por la aclaración. Esta vez he aplicado el teorema un poco desde el desconocimiento y aventurándome a "cómo podría ser" en este caso que he puesto, comparándolo con el razonamiento que sigue el libro de Antonio Crespo que me recomendaste (por cierto, me parece muy bueno). El razonamiento que sigue es poniendolo en notación de índices. Es decir,

${\int}_{ S}\rho\vec{v}(\vec{v}\cdot \vec{n})dS$=$\dst{\int}_{ V}\frac{\partial (\rho {v}_{ i}{v}_{j })}{\partial {x}_{j }}dV$

y la verdad, no sé por qué le pone índices distintos a la velocidad. Entonces, lo puse en forma matricial tal y como lo he puesto en el primer post y así más o menos, puedo darle un poco más de sentido.

Sin embargo, yo lo veo mucho mejor tal y como tú lo has puesto. Lo veo bastante más directo. Lo único que no termino de entender es qué operación implica tener dos vectores de esta manera $\vec v \vec v$ porque eso no es ni un producto escalar ni vectorial.

Por cierto, esta duda me ha surgido de la deducción de la ecuación de cantidad de movimiento en su forma diferencial

Otra cosa, aprovecho para preguntar una cosilla más. ¿Sabes por qué esto se puede poner así?

$${\nabla}^{ 2}\vec{v}\equiv \nabla (\nabla \cdot \vec{v})-\nabla \times (\nabla \times \vec{v})$$

y

$$(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\equiv \nabla (\frac{{v}^{ 2}}{2 })-\vec{v} \times (\nabla \times \vec{v})$$

Esto es de la "distribución de presiones en flujo irrotacional"

Muchas gracias.

Un Saludo

[ZYpp]

Re: Transformar integral de superficie mediante teorema de Gauss

El razonamiento que sigue es poniendolo en notación de índices. Es decir,

${\int}_{ S}\rho\vec{v}(\vec{v}\cdot \vec{n})dS$=$\dst{\int}_{ V}\frac{\partial (\rho {v}_{ i}{v}_{j })}{\partial {x}_{j }}dV$

y la verdad, no sé por qué le pone índices distintos a la velocidad. Entonces, lo puse en forma matricial tal y como lo he puesto en el primer post y así más o menos, puedo darle un poco más de sentido.

Sin embargo, yo lo veo mucho mejor tal y como tú lo has puesto. Lo veo bastante más directo. Lo único que no termino de entender es qué operación implica tener dos vectores de esta manera $\vec v \vec v$ porque eso no es ni un producto escalar ni vectorial.

Precisamente usar distintos subíndices y escribir $\vec v \otimes \vec v$ es lo mismo. Ese producto, escrito en forma matricial como $v^T v$ en efecto no es ni un producto escalar ni un producto vectorial; es un un producto que va más allá de estos dos anteriores y forma una nueva entidad matemática (para ser exactos un tensor): es un producto diádico. Por curiosidad, este tensor representa la convección de la cantidad de movimiento.

Las demostraciones de esas identidades no son complicadas, pero son harto engorrosas. Preferiría que no me hicieses escribirlas, además de que es posible encontrarlas por ahí ya que son muy conocidas.

En fin, ánimo con Mecánica de fluidos que es una asignatura preciosa.

Saludos.

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Reescribo el producto entre los vectores velocidad para que sea más entendible.