1r ciclo Ayuda para entender el concepto de variación total de f en un intervalo [a,b]

[alfred_oh]

Estoy intentando entender el concepto de variación total que es como lo pone el Wikipedia el siguiente:
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"La variacion total de una función real f:[a,b]->R que está definida en un intervalo cerrado es el Supremo (la cota superior mas pequeña)

donde sup es el Supremo de todas las Particiones que se pueden formar

del intervalo [a,b] La n dada depende de P"
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Lo que he entendido es lo siguiente: Tenemos por una parte un función que no necesariamente es continua ya que no se especifica así en la definición. Esta esta definida en el intervalo [a,b]. Ahora definimos todas las posibles particiones del intervalo [a,b], por lo tanto estas particiones serán infinitas. y a traves de la formula

Calculamos las variaciones, es decir sumamos todas las diferencias f(x_k)-f(x_k-1) para todas las i's entre 1 y n(el numero de particiones que tiene un partición cualquiera). Una vez tenemos todas las particiones, las colocamos en un conjunto y buscamos el supremo de ese conjunto de variaciones. El supremo sera la VARIACION TOTAL.
------------------------------------------------¿Está bien hasta allí?------------------
Estas son las cosas que no entiendo:
¿El numero de particiones que puedo obtener del intervalo [a,b] es infinito? ¿Si es así entonces no se puede calcular "a mano" todos las variaciones?
¿Si no se puede calcular todas las variaciones cómo podremos entonces averiguar el supremo?
Por ultimo les dejo un ejemplo que pone en Wikipedia de una funcion con variacion infinita:
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Queremos demostrar que para el intervalo [0,1] la función continua

cumple que:

Para todos los n∊N son

entiendo que (t_k)^(n) es una de las divisiones de la una particion con n "intervalos"
Debido a que se cumple

y como la serie armónica diverge la Variacion es infinita
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Aquí si que me mareo =S
1.¿De dónde se saca ese 1/(n+1-k) para k∊{1,...,n}?
2.Cómo se obtiene el último sumatorio?
3.Cómo se llega a la serie armónica? Se que ella diverge pero como la obtenemos?


Espero que me puedan echar una mano con esto! Gracias!

[hennin]

Re: Ayuda para entender el concepto de variación total de f en un intervalo [a,b]

¿El numero de particiones que puedo obtener del intervalo [a,b] es infinito? ¿Si es así entonces no se puede calcular "a mano" todos las variaciones?

Evidentemente sí se puede calcular bajo ciertas condiciones. La integral también es el supremo de las sumas inferiores de Darboux o el ínfimo de las sumas superiores de Darboux. Simplemente habrá que encontrar una fórmula que haga correcta la igualdad. En este caso, podrías demostrar la siguiente igualdad:
$V_{f}([a,b])=\int_a^b \left\vert{} f' \right\vert{}$ con $f\in C^1$ (se prueba usando el teorema del valor medio generalizado y la continuidad uniforme de f usando la típica acotación de las desigualdades con el epsilon por medio)

.¿De dónde se saca ese 1/(n+1-k) para k∊{1,...,n}?

Simplemente dibuja la gráfica. Miras los máximos de la función. Dibuja las rectas $y=\pm x$ y oscilando la función estará. Fija un punto $t_k$, y el cateto opuesto (altura) será como mucho ese mismo valor. Ajustando esto sale ese valor.

2.Cómo se obtiene el último sumatorio?

Yo lo haría con desigualdades de "mayor o igual que" hasta llegar a la que diverge. Es más fácil y más directa.