1r ciclo Límite por caminos

[mariolp]

Buenas! Estoy echando un repaso a los límites por caminos, les pongo el que he intentado y después una duda más general.

El límite en cuestión es el siguiente:

$$\lim_{\vec x\to \vec 0} \cfrac{xy^2}{x^2+y^4}$$

con $\vec x = (x,y)$ a lo largo de las curvas $x=my^\alpha$
Yo he hecho lo siguiente

$\lim_{\vec x\to \vec 0} \cfrac{xy^2}{x^2+y^4} = \lim_{\vec x\to \vec 0} \cfrac {my^\alpha y^2}{m^2 y^{2\alpha} + y^4} = \lim_{\vec x\to \vec 0} \cfrac {my^{2+\alpha}}{m^2 y^{2\alpha} + y^4}$
Y ahí me he quedado, ya que al ser $\alpha$ un número cualquiera desconozco si puedo eliminar en numerador y denominador algún $y$ y me queda una indeterminación del tipo $\cfrac{0}{0}$.

Por otra parte, si resultado del límite me depende de la pendiente $m$, o del parámetro que fuera del camino que eligiera, entonces ¿no existiría el límite ó podría hallarse por medio de otro camino?. ¿Influye algo qué tipo de camino coja? Es decir, ¿cómo sé cuando hay que tomar una recta, una parábola, etc?

Muchas gracias.

[Physicist]

Re: Límite por caminos

Muy buenas!
Este límite lo tengo hecho como ejemplo cuando me enseñaron limites de diversas variables por primera vez xD
Prueba a meterle en vez de $x = my^\alpha$ simplemente $x = my$, es mucho más manejable trabajar sin el incomodo alpha purulando por ahí. Te debe dar lo mismo cojas el camino que cojas.

Si te queda dependiente de la pendiente se puede afirmar que no existe el límite, pero si no lo hace no se puede concluir lo contrario, tienes que demostrar por otros métodos que existe y cual es.

Un saludo!

[InesIncinerate]

Re: Límite por caminos

¡Hola!

Cuando estudias un límite por su aproximación con rectas o curvas, y te queda dependiente de la pendiente m, el límite, sencillamente, no existe, porque sería diferente dependiendo del lado por el que te acercaras a la función y la teoría nos dice que si un límite existe, este debe ser único.

¿Por qué no pruebas a aproximarte por una recta del tipo x=my? Tal vez así resulte más fácil. De todas formas, aunque de esto no estoy del todo segura, creo que puedes darle un valor arbitrario al exponente de y, y que no es del todo relevante que función elijas para aproximarte, pues lo único que de verdad importa es la pendiente. De la manera en que lo has hecho tú, imagino que lo haces por barrer todo el fajo de parábolas, pero por lo primero que mencioné acerca de la unicidad de los límites, creo esto no tendría mucho sentido, porque alfa siempre será uno y solo un valor concreto.

PD: Ups, se me adelantó Physicist.

[angel relativamente]

Re: Límite por caminos

Por otra parte, si resultado del límite me depende de la pendiente , o del parámetro que fuera del camino que eligiera, entonces ¿no existiría el límite ó podría hallarse por medio de otro camino?

Ampliando lo que ha dicho Physicist, el método de "límite por caminos" no se emplea para calcular el límite, porque para que este exista hemos de hacerlo con todos los caminos posibles (y en todos nos ha de existir y coincidir). Evidentemente hay tantos caminos como imaginación del alumno, por lo que no es un método viable. Entonces, ¿por qué es útil? Pues por lo que ya han dicho: Si el límite por un camino no existe o ves que depende de un parámetro del camino, entonces ya te has pulido el problema porque sabes que no existe el límite. Y si encuentras el límite por un camino y es independiente del parámetro, sabes que EN CASO DE EXISTIR el límite será ese, y ya solo te queda probar que en efecto ese es el límite (un buen método para esto es acotarlo por el teorema del sandwich).

¿Influye algo qué tipo de camino coja? Es decir, ¿cómo sé cuando hay que tomar una recta, una parábola, etc?

En principio, repito que si el límite existe ha de existir para cualquier camino. Otra cosa es que "no elijas el camino correcto", es decir, que no puedas concluir nada con los métodos que conoces sobre cuánto vale el límite por ese camino. Yo personalmente escogería en este caso $x=my^2$, porque así todas las $y$ te quedan elevadas a la misma potencia y es fácil de simplificar. Si no me he equivocado, en este caso depende de $m$ y por tanto el límite no existe. En general, hay que tener un poco de picardía para saber qué camino escoger, pero se gana con un poquito de práctica.

Saludos.