1r ciclo ¿Qué hacer cuando el método de la segunda derivada en varias variables (para puntos críticos) es inconcluyente?

[Pepealej]

Hola. Estaba haciendo el siguiente ejercicio y me surgió una duda. Dice así: Hállense los puntos críticos de la función: $f(x,y)=x^2+xy^2+y^4$.

Primero hago el gradiente: $\nabla f(x,y)=(2x+y^2, 2xy+4y^3)=(0,0)\Leftrightarrow (x,y)=(0,0)$

Y después la matriz Hessiana: $H(x,y)=\begin{pmatrix}& 2 & 2y \\&2y & 2x+12y^2&\end{pmatrix}$
que en (0,0) es: $H(0,0)=\begin{pmatrix}&2 &0 \\&0 & 0\end{pmatrix}$.

Entonces, resulta que en este caso el Hessiano es 0, y el método de la segunda derivada para saber si es un máximo, mínimo o punto de silla no funciona. ¿Qué se hace en estos casos?

Gracias

[angel relativamente]

Re: ¿Qué hacer cuando el método de la segunda derivada en varias variables (para puntos críticos) es inconcluyente?

La metodología general es:

1- Encender un cirio.
2- Rezar para que tengas la picardía necesaria para resolverlo.

Por ejemplo, aquí podemos acercarnos al origen por la recta $(x,0)$ y vemos que conforme x tiende a 0, siempre nos acercamos desde los valores positivos. Da que pensar de que nuestro punto será un mínimo, pero no es una justificación porque deberíamos probar que esto funciona para cada recta (si, sin embargo, hubiésemos visto que nos acercamos por los positivos y por los negativos en función del signo de x, ya quedaría demostrado que es un punto de ensilladura).
Para demostrar que es un mínimo se me ocurre lo siguiente. La función está acotada superiormente por $\max\{ x^2 + 2xy^2 + y^4 , x^2 - 2xy ^2 + y^4 \}$ e inferiormente por $\min\{ x^2 + 2xy^2 + y^4 , x^2 - 2xy ^2 + y^4 \}$. Es evidente que así sea, pues lo único que hacemos es añadirle y quitarle un determinado número de veces el término $xy^2$. Así que, como $x^2 + 2xy^2 + y^4=(x+y^2)^2 \geqslant 0$ y $x^2 - 2xy^2 + y^4=(x-y^2)^2 \geqslant 0$, el origen es un mínimo absoluto de la función, y en concreto un mínimo relativo.

Saludos

PD: Está implícito que ya hemos comprobado que $f$ es continua en $\mathbb{R}^2$ y que $f(0,0)=0$.

[Sheldoniano]

Re: ¿Qué hacer cuando el método de la segunda derivada en varias variables (para puntos críticos) es inconcluyente?

Puedes usar el teorema de la función implícita y ver si en la bola que contiene al punto es aplicable y a partir de ahí hacer derivada normal

[angel relativamente]

Re: ¿Qué hacer cuando el método de la segunda derivada en varias variables (para puntos críticos) es inconcluyente?

Puedes usar el teorema de la función implícita y ver si en la bola que contiene al punto es aplicable y a partir de ahí hacer derivada normal

Sin intención de discutirte, ¿puedes plantearlo este ejercicio en concreto por este método?
No sabía que podía resolverse de esa maneara.

Un saludo y gracias