1r ciclo Integral doble racional

[Pepealej]

Tengo la siguiente integral doble que me tiene trabado. ¿Alguien sabe cómo hacerla? Gracias.

$\dst \iint y^3 (x^2+y^2)^{-3/2} dxdy$

Para para $\frac{1}{2}\leqslant y \leqslant 1$ y $x^2+y^2 \leqslant 1$.

[Physicist]

Re: Integral doble racional

No te dan ninguna región o algo donde integrar?

[Pepealej]

Re: Integral doble racional

Sí, me dicen que integre para $\frac{1}{2}\leqslant y \leqslant 1$ y $x^2+y^2 \leqslant 1$.

[arivasm]

Re: Integral doble racional

Yo la haría empleando coordenadas polares, $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, y tener en cuenta que el elemento de superficie es $\dd S=r\dd r\dd\theta$, en vez de $\dd S=\dd x\dd y$. De esa manera, la integral del enunciado se corresponderá con esta otra, donde $r(\theta)\sin\theta=1/2$ es el límite inferior para r que corresponde a cada $\theta$, al considerar la forma del sector en el que se realiza la integración

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[Physicist]

Re: Integral doble racional

Muy buenas:
A mi el cambio a polares me ha costado un rato verlo, los limites de la "r" son algo difíciles de encontrar (al menos a mi). Aquí te dejo la solución sin hacer el cambio, el resultado no es tan elegante pero es el mismo.

[arivasm]

Re: Integral doble racional

El límite superior de r es 1 (el radio del círculo), el inferior es $r\sin\theta=y_{inf}=1/2$. De todos modos, seguro que Pepe agradece más no hacer el cambio a otras coordenadas.

[gdonoso94]

Re: Integral doble racional

Yo la haría empleando coordenadas polares, $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, y tener en cuenta que el elemento de superficie es $\dd S=r\dd r\dd\theta$, en vez de $\dd S=\dd x\dd y$. De esa manera, la integral del enunciado se corresponderá con esta otra, donde $r(\theta)\sin\theta=1/2$ es el límite inferior para r que corresponde a cada $\theta$, al considerar la forma del sector en el que se realiza la integración

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Buenas, tengo una duda de este mismo ejercicio. ¿Cómo has sacado los límites de integración para theta?

Un saludo

[arivasm]

Re: Integral doble racional

El dibujo de Physicist lo aclara bien: se trata del ángulo para el que $r=1$ y $r\sin\theta=y_{min}=1/2$. Es decir, se trata del arco cuyo seno es 1/2: 30º y 150º.

[gdonoso94]

Re: Integral doble racional

Sí, ahí lo veo, pero formalmente en matemáticas, en un caso generalizado, cómo se hallarían esos límites?

[arivasm]

Re: Integral doble racional

Si te fijas, la idea es exactamente la misma en coordenadas cartesianas que en polares. Se trata de delimitar la región de integración expresando los límites para una variables (1/2 y 1 para y, en cartesianas; 30º y 150º para el ángulo en polares) y los de la otra variable en función de la primera. Al igual que sucede con este problema, imaginamos que la variable que hemos elegido va recorriendo sus valores (p.ej. y desde 1/2 hasta 1) y vemos qué sucede con la otra (x irá desde $-\sqrt{1-y^2}$ hasta $\sqrt{1-y^2}$); en realidad se trata ver qué limites corresponden a las curvas y=cte.

Por supuesto, en este problema el enfoque es justo al revés: te dan los límites de integración y a partir de ellos hay que visualizar la región de integración, como ha comenzado Physicist. Al hacer el cambio de variable eso nos ayuda, no sólo para determinar los límites de una de las variables, sino también para encontrar los de la otra una vez que manejamos las curvas correspondientes.

Por ejemplo, yo opté por anidar la integral respecto de r dentro de la integral respecto de $\theta$. Por ello primero busqué los límites globales para esta variable (30º y 150º) y luego tomando las rectas $\theta=\rm cte$ ver cuáles son sus límites en la región de integración.

Por supuesto, nada impediría hacer la elección al revés y anidar la integral respecto de $\theta$ en la de r. El juego sería completamente análogo.