1r ciclo Geometría en integrales dobles y triples (duda conceptual)

[Pepealej]

Estaba estudiando las integrales dobles y triples, y me surgió una duda conceptual.

En concreto, en ejercicios de tipo: calcula el volumen encerrado por tal y tal planos, o tal y tal curvas, etc. Entiendo que se haga la integral triple dentro de la respectiva región de dxdydz.

Ahora bien, ¿Qué diferencia hay entre hacer esto y lo otro?: $\displaystyle\iiint _{W} f(x,y,z)dxdydz$ y $\displaystyle\iiint _{W} dxdydz$ (siendo $W$ el espacio acotado).

¿Qué significado geométrico tiene la función $f(x,y,z)$ para la integral? Gracias

[Physicist]

Re: Geometría en integrales dobles y triples (duda conceptual)

Muy buenas:

Tengo entendido que en una integral triple cuando $f(x, y ,z) = 1$, el calculo representa el volumen de la región W, en cambio cuando no es 1 representa el volumen de la función $f(x, y, z)$ comprendido dentro de esa región.

Un saludo!

[Pepealej]

Re: Geometría en integrales dobles y triples (duda conceptual)

[...] en cambio cuando no es 1 representa el volumen de la función $f(x, y, z)$ comprendido dentro de esa región.

¿Tú crees? Me parece que, como ocurre en el siguiente caso:

$\displaystyle\iiint _{W} dxdydz=2\displaystyle\iint _{W} f(x,y)dxdy$, siendo $x^2+y^2+f(x,y)^2=R^2$ y $W$ la región que comprende una esfera, la integral doble y triple son el mismo volumen (el de una esfera).

Por tanto, ¿no podría ocurrir lo mismo con una integral triple? Cuando hacemos $\displaystyle\iiint _{W} f(x,y,z)dxdydz$, ¿no estamos calculando un volumen en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?

[[Beto]]

Re: Geometría en integrales dobles y triples (duda conceptual)

Si vemos a esa función f(x,y) como una densidad la interpretación que se le puede dar a esa integral es más bonita.

[Kike]

Re: Geometría en integrales dobles y triples (duda conceptual)

No sé si esto responderá a tu duda, pero lo intentaré: una integral simple al integrar una función f(x) calculamos el área entre el eje x, la función y las rectas y=a e y=b (siendo a y b los limites). Si la función fuese 1, nos daría el área del rectángulo de altura uno y base dependiendo de los límites, que coincide también con la longitud de dicho límite. Si se trata de una integral doble si integramos una función f(x,y) nos dará el volumen entre el plano XY y los planos perpendiculares a estos que varían dependiendo de los límites, y si integramos la función 1 nos da nuevo el volumen del ortoedro de altura 1, que de nuevo coincide con el área de la base. Estas coincidencias no son casuales, es porque como el hay que mutiplicar base por altura, y la altura es 1 pues nos queda igual. Pero para el caso de la integral triple es algo diferente. Si integramos una función f(x,y,z) geométricamente no representa nada, seria como lo equivalente al área en dos dimensiones, o el volumen en tres, pero como los seres humanos tenemos una mente en 3 dimensiones pues es imposible imaginarlo (bueno a lo mejor tú si puedes, pero de momento no he conocido a nadie ). Lo que se sigue cumpliendo es que al integral la función 1 es el volumen (como si dijéramos que siempre es la dimensión anterior) encerrado por los límites de integración. Por lo tanto NO es lo mismo integrar la función 1 y otra cualquiera, dará resultados diferentes y la interpretación geométrica de la segunda no existe en nuestro mundo de 3 dimensiones.
No sé si he liado más, o si esto ya lo sabías perfectamente, pero bueno yo lo intento .