1r ciclo Campos vectoriales.

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que no tengo ni idea de cómo resolverlo:

Sea $\vec{F}(x,y,z)=\frac{\vec{r}}{r^3}$ definido en $D=\mathbb{R}^3-(0,0,0)$. ¿Existe algún campo vectorial $\vec{A}(x,y,z)$ definido en D tal que $\vec{F}=\nabla\times\vec{A}$? En caso afirmativo calcúlelo y discuta si es único. En caso negativo, justifique su respuesta.

¿Alguien sabe qué teorema o teoremas tengo que aplicar para resolverlo? o al menos para deducir su existencia...

Un saludo!

[ZYpp]

Re: Campos vectoriales.

Lo primero que se me ocurre es ver si $\vec F$ deriva de un potencial vectorial. En cuyo caso, debería cumplirse que $\nabla \cdot \vec F = 0$.

Busca por Teorema de Poincaré.

Saludos.

[gdonoso94]

Re: Campos vectoriales.

Encuentro conjetura de Poincaré, o hipótesis de Poincaré, y lo poco que he leído se va del nivel de cálculo que poseo jajaja.

¿No hay alguna forma más sencilla?

[ZYpp]

Re: Campos vectoriales.

Teorema de Poincaré.

Seguro que por ahí se encuentran más cosas en pdf, que en la Wiki viene poco al respecto.

Saludos.

[alespa07]

Re: Campos vectoriales.

Hola.

Tal y como se te ha dicho, para que $\vec F$ sea un rotacional se ha de cumplir que su divergencia sea nula. Es más, Si $\vec F$ cumple el requisito de ser continuamente derivable en un abierto (de $\mathbb{R}^3$ en tu caso) entonces es una relación de equivalencia:

$(\exists \vec A$ | $\vec F=\nabla\times\vec A)\Leftrightarrow (\nabla\cdot\vec F=0)$

Para calcular $\vec A$ lo descompones en sus tres funciones componentes (campos escalares). Haces lo propio con $\vec F$ y la ecuación vectorial se te vuelve un sistema de ecuacipnes diferenciales en derivadas parciales.

Lo que te recomiendo es que escojas una de las componentes de $\vec A$ como la función idénticamente nula (nada nos prohibe fijar una condición arbitraria sobre $\vec A$ que nos permite quitar un grado le libertad) con lo que las ecuaciones se te vuelven más sencillas. Inténtalo y nos cuentas.

En cuanto a la unicidad recuerda que el rotacional de un gradiente es nulo. ¿Qué ocurre, pues, al rotacional de un campo vectorial al que le sumas un gradiente?

Un saludo.

[ZYpp]

Re: Campos vectoriales.

En cuanto a la unicidad recuerda que el rotacional de un gradiente es nulo. ¿Qué ocurre, pues, al rotacional de un campo vectorial al que le sumas un gradiente?
Un saludo.

Un apunte (y sólo para no arribar a conclusiones equivocadas): En realidad, el rotacional de un gradiente es nulo sí y solo sí el dominio en el que se trabaja es arco-conexo y el grupo fundamental de homotopía es el grupo trivial. En especial, en $D=\mathbb{R}^3-(0,0,0)$ se cumple esto. Sin embargo $T=\mathbb{R}^2-(0,0)$ resulta tener un grupo fundamental isomorfo a $\left( \mathbb{Z},+ \right)$ y $S=\mathbb{R}-0$ no es arco-conexo. Para cualquier $n > 2$, $\mathbb{R}^n - \{ 0 \}$, se cumple que $\nabla \times \vec F = 0 \Leftrightarrow \vec F = \nabla \phi$.

Saludos.

[alespa07]

Re: Campos vectoriales.

Un apunte (y sólo para no arribar a conclusiones equivocadas): En realidad, el rotacional de un gradiente es nulo sí y solo sí el dominio en el que se trabaja es arco-conexo y el grupo fundamental de homotopía es el grupo trivial. En especial, en $D=\mathbb{R}^3-(0,0,0)$ se cumple esto. Sin embargo $T=\mathbb{R}^2-(0,0)$ resulta tener un grupo fundamental isomorfo a $\left( \mathbb{Z},+ \right)$ y $S=\mathbb{R}-0$ no es arco-conexo. Para cualquier $n > 2$, $\mathbb{R}^n - \{ 0 \}$, se cumple que $\nabla \times \vec F = 0 \Leftrightarrow \vec F = \nabla \phi$.

Saludos.

Hola.

Por eso le puse que trabajaba en $\mathbb{R}^3$ pero nunca se es lo suficientemente riguroso así que gracias por la precisión.

Un saludo.

[gdonoso94]

Re: Campos vectoriales.

Entonces hago:

$$\vec{A}=(x',y',z')$$

$$\dst\vec{F}=\nabla\times \vec{A}=(\frac{\partial z'}{\partial y}-\frac{\partial y'}{\partial z},\frac{\partial x'}{\partial z}-\frac{\partial z'}{\partial x},\frac{\partial y'}{\partial x}-\frac{\partial x'}{\partial y})$$

Ahora mi duda surge en el vector $\vec{F}$. ¿Cómo sería ese vector sin la notación r? ¿Podría ser así?:

$\dst\vec{F}=(\frac{x}{||F||^6},\frac{y}{||F||^6},\frac{z}{||F||^6})$

Si no, ¿qué otra forma habría para hallar la divergencia?

Un saludo, y gracias!

[alespa07]

Re: Campos vectoriales.

Entonces hago:

$$\vec{A}=(x',y',z')$$

$$\dst\vec{F}=\nabla\times \vec{A}=(\frac{\partial z'}{\partial y}-\frac{\partial y'}{\partial z},\frac{\partial x'}{\partial z}-\frac{\partial z'}{\partial x},\frac{\partial y'}{\partial x}-\frac{\partial x'}{\partial y})$$

Ahora mi duda surge en el vector $\vec{F}$. ¿Cómo sería ese vector sin la notación r? ¿Podría ser así?:

$\dst\vec{F}=(\frac{x}{||F||^6},\frac{y}{||F||^6},\frac{z}{||F||^6})$

Si no, ¿qué otra forma habría para hallar la divergencia?

Un saludo, y gracias!

Hola.

En coordenadas cartesianas tienes que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Solo te queda caulcar las derivadas parciales de cada componente y observar que al sumarlas se anulan con lo que la divergencia en nula.

Un saludo.

[gdonoso94]

Re: Campos vectoriales.

Perfecto, ya he resuelto el ejercicio. Muchas gracias, un saludo.