Secundaria Cálculo integral (dudas de ejemplos)

[byjart]

Hola a tod@s!
Me surgieron ciertas dudas para integrar estos ejemplos:
\dst \int \frac{x+3}{x^2+x+1 } dx
\dst \int \frac{1}{4x^2+4x+10 } dx
\dst \int \frac{(7+2tg(x))^1/2}{cos(x)^2 } dx
\dst \int \frac{sin(x)(1+2cos(x))}{2+cos(x)+(cos(x))^2 } dx

Sobretodo me interesa el desarrollo.
Gracias a tod@s!

[Turing]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Hola! Estoy en segundo de bachiller... pero intentaré resolver la primera.

$\dst \int \frac{x+3}{x^2+x+1} dx = \int \frac{5}{2(1+x+x^2)} + \frac{1+2x}{2(1+x+x^2)} dx =$

$= \dst \frac{5}{2} \int \frac{1}{\frac{3}{4} + (\frac{1}{2}+x)^2} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du =$

$= \dst \frac{5}{2} \int \frac{1}{\frac{3}{4}+s^2} ds + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du =$

$= \dst \frac{10}{3} \int \frac{1}{1+\frac{4s^2}{3}} ds + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du =$

$= \dst \frac{5\int\frac{1}{1+p^2}dp}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{5\tan^-1(p)}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2} \int\frac{1}{u} du =$

$= \dst \frac{5\tan^-1 (\frac{1+2x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2}log (u) + C =$

$= \dst\frac{5\tan^-1 (\frac{1+2x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2} log (1+x+x^2) + C$

Mi nivel no llega a tanto, seguramente hay errores, pero espero que el camino más o menos sea correcto...

PD: Algunos pasos de integración por partes no los he indicado, y algunos otros tampoco... espero que lo entiendas!!!

Un saludo!

[byjart]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Gracias!
De todas formas estas ecuaciones son de nivel de bachillerato, revisaré el método, pues parece bastante encaminado pero en las soluciones me sale otro resultado. Aun así agradezco enormemente tu interés. Te doy un gracias jaja

la solución (cuando averigüe como ponerla para que se vea como la pusiste tú xD ) me sale con arctg y neperianos

[Turing]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Lo son? Hahaha, normalmente suelo hacer mucho más fáciles xD. Pero bueno, si te ha servido ya me vale.

Para ponerlo para que se vea solo has de añadir TEX al principio y /TEX al final (entre [] los dos).

PD: Lo más seguro es que, por falta de tiempo, no me hayan enseñado a hacer de este tipo >.<

[sater]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

si, las integrales de raíces complejas múltiples ya no se ven. ¿Conoces el método de Hermite?

[gdonoso94]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Hola a tod@s!
Me surgieron ciertas dudas para integrar estos ejemplos:

$\dst \int \frac{x+3}{x^2+x+1 } dx$

$\dst \int \frac{1}{4x^2+4x+10 } dx$

$\dst \int \frac{(7+2tg(x))^1/2}{cos(x)^2 } dx$

$\dst \int \frac{sin(x)(1+2cos(x))}{2+cos(x)+(cos(x))^2 } dx$

Sobretodo me interesa el desarrollo.
Gracias a tod@s!

Te cito para poner el TEX en las integrales.

- - - Actualizado - - -

A ver, me voy a poner un poco manos a la obra con esta:

$\dst I= \int \frac{1}{4x^2+4x+10 } \dd x$

Para empezar completamos el cuadrado del denominador, con lo que quedaría:

$\dst \int \frac{1}{(1+2x)^2+9} \dd x$

Hacemos un cambio de variable: $u=1+2x$, $\dd u=2 \dd x$. Con lo que quedaría:

$\dst \int\frac{1}{9+u^2} \frac{\dd u}{2}= \frac{1}{2}\int\frac{1}{9+u^2}\dd u =\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{u^2}{9}}\dd u= \frac{1}{2}\int\frac{1}{1+(\frac{u}{3})^2}\dd u$

Con lo que obtenemos la forma de la arcotangente:

$\dst \frac{1}{2}\int\frac{1}{1+(\frac{u}{3})^2}\dd u=\frac{1}{6}\arctan(\frac{u}{3})$

Deshaciendo el cambio de variable:

$\dst I= \frac{1}{6}\arctan(\frac{1}{3}(1+2x))$

Creo que está bien, si me he equivocado en algo, corregidme.

Un saludo!

[alespa07]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Gracias

la solución (cuando averigüe como ponerla para que se vea como la pusiste tú xD ) me sale con arctg y neperianos

La solución que te proporciono Turing es correcta. Quizás no sepas que $\tan^{-1}(x)$ es lo mismo que $\arctan(x)$ y que es común llamar $\log(x)$ a $\ln (x)$.

Un saludo.

[Turing]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

¿Conoces el método de Hermite?

La verdad es que no Sater. Me lo miro a ver que dice, quizá ese método lo plantea de una forma más sencilla.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

De paso, voy a intentar una que veo bastante obvia.

$\dst \int \frac{sin(x)(1+2cos(x))}{2+cos(x)+(cos(x))^2 } dx$ = $\dst -\int\frac{1}{u} du [1] = -log(u) + C = -log (2+\cos(x)+\cos^2x) + C$


[1] $\dst u= 2+ \cos(x) + \cos^2(x)$ $\to$ $\dst du= (- \sin(x) - 2 \cos(x) \sin(x)) dx$

Espero que esté bien! Un saludo.

[alespa07]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Hola.

No es por nada pero ¿no hubiera sido más educativo para Byjart que le dierais pistas para que se las pensase primero?

Integrar es un arte que requiere mucha "vista" que uno solo adquiere quedándose en blanco delante de una integral un buen rato (quizás unos días ) hasta que lo "ve": Eureka!!!

Un saludo.

[byjart]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

jajaja gracias a todos!
alespa07 tiene razón en lo de las pistas pues es el mejor método para aprender, sin embargo se agradece bastante el ejemplo resuelto para analizarlo en profundidad.
Por otro lado no me fije en lo de tan^-1, de modo que creo que esta bien, además muchas gracias por lo del TEX poco a poco voy aprendiendo cosillas de este gran foro
Por cierto el método hermite no lo había oído nunca, ¿de qué trata?

[Turing]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

¿no hubiera sido más educativo para Byjart que le dierais pistas para que se las pensase primero?

Seguramente sí! Pero yo creo que ya las he pensado y se estancó en ellas, de hecho, pedía el desarrollo de éstas para llegar a entenderlas. No he caído en lo de las "pistas", sorry!!!

[sater]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

mirad, aquí se ven integrales racionales y explica dicho método:
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/intracio.htm

[gdonoso94]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

No es por nada pero ¿no hubiera sido más educativo para Byjart que le dierais pistas para que se las pensase primero?

Tienes razón, pero como lo que pedía era el procedimiento, una imagen vale más que mil palabras, así que a eso me dediqué :P

Espero que te haya servido. Pero vamos, con cambios de variable se pueden hacer sin mucha dificultad, el caso es encontrar el bueno. Te adjunto unos apuntes en el que te viene mucha información sobre integrales y cambios de variable útiles y demás, espero que te sean útiles. Un saludo!

m5.pdf

[ZYpp]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Hola.

No es por nada pero ¿no hubiera sido más educativo para Byjart que le dierais pistas para que se las pensase primero?

Integrar es un arte que requiere mucha "vista" que uno solo adquiere quedándose en blanco delante de una integral un buen rato (quizás unos días ) hasta que lo "ve": Eureka!!!

Un saludo.

Esto me recuerda...

$$\int_{0}^\pi \frac{\cos\left(nx\right)}{\cos\left(x\right)} \dd x$$

$$\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left(nx\right)}{\left(1+2^x\right)\sin\left(x\right)} \dd x$$

con $n$ natural, me llevaron un día entero y con alguna pista para la segunda.

Las dejo aquí por si a alguien le interesa intentarlas, pero son complicadillas...

[alespa07]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Esto me recuerda...

$$\int_{0}^\pi \frac{\cos\left(nx\right)}{\cos\left(x\right)} \dd x$$

$$\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left(nx\right)}{\left(1+2^x\right)\sin\left(x\right)} \dd x$$

con $n$ natural, me llevaron un día entero y con alguna pista para la segunda.

Las dejo aquí por si a alguien le interesa intentarlas, pero son complicadillas...

Hace tiempo que no me rompo la cabeza con una integral (lo que de hecho me encantaba: soy así de raro xD). A ver quetal con estas. Me las llevo al curro para ir pensándolas un rato .

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

Hola.

Ya la tengo resueltas (o eso creo al menos) .

La primera no es tan complicado si te acuerdas de usar la fórmula de Moivre y del "truco" para expresar una fracción de exponenciales en una suma de exponenciales.

La segunda me dió más quebradero de cabeza pero creo haberlo logrado también.

Supongo que es mejor que no ponga las respuestas por si alguien quiere pensarselo un poco más.

Un saludo.