1r ciclo Pasar derivadas parciales de cartesianas a cilíndricas

[kuvala]

Hola Buenas

Mi duda es como se puede pasar de unas derivadas parciales respecto de las coordenadas cartesianas a esas mismas derivadas, pero respecto de las coordenadas cilíndricas. Es decir, si tenemos:

$\dst \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}$

¿como se podría expresar de la forma $\dst \frac{\partial v}{\partial \rho}+\frac{\partial v}{\partial \theta}+\frac{\partial v}{\partial z}$ ? ¿Qué es lo que hay que hacer?

En particular, tengo este ejemplo.
$\dst \frac{{\partial}^{ 2} v}{\partial {y}^{ 2}}+\frac{{\partial}^{ 2} v}{\partial {z}^{ 2}}$

que al aplicar el cambio a coordenadas cilíndricas y suponiendo que por la simetría de la forma (es un tubo horizontal con eje de simetría el eje X), v solo va a depender de la distancia r al centro del tubo, pasa a :

$\dst \frac{{\partial}^{ 2} v}{\partial {r}^{ 2}}+\frac{1}{r }\frac{\partial v}{\partial r}$

¿Que ha hecho para llegar a esto último?

Muchas gracias.

Un Saludo

[ZYpp]

Re: Pasar derivadas parciales de cartesianas a cilíndricas

Será...

$$\frac{\partial ^2 v}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 v}{\partial \theta^2}$$

En cuyo caso, lo que hace viene del tensor métrico en coordenadas cilíndricas. En estas coordenadas, el elemento de longitud no es como en cartesianas y hacen falta unos "factores de escala". Habría mucho de qué hablar aquí, prueba a mirarte la definición del operador laplaciano en coordenadas curvilíneas.

Saludos.