Otras carreras Función diferenciable.

[AlejandroR]

Hola, para saber si una función es diferenciable, se hacía con sus derivadas parciales, no? df/dx y df/dy, si existían las 2, era diferenciable, verdad?

y luego la otra fórmula del lím f(0,h)+f(0,0)... es para saber si es diferenciable en dicho punto x,y=0,0 , verdad?


Un saludo!

[gdonoso94]

Re: Función diferenciable.

Yo aplicaría la "otra fórmula" como la llamas tú. Aplica la definición de diferenciabilidad y ya está, es lo más rápido.

Saludos.

[alespa07]

Re: Función diferenciable.

Hola, para saber si una función es diferenciable, se hacía con sus derivadas parciales, no? df/dx y df/dy, si existían las 2, era diferenciable, verdad?

y luego la otra fórmula del lím f(0,h)+f(0,0)... es para saber si es diferenciable en dicho punto x,y=0,0 , verdad?

Hola.

El hecho de que existen las derivadas parciales en $u_0=(x_0,y_0)$ no es suficiente para concluir que $f$ sea difenciable en dicho punto (hay un montón de contra-ejemplos, si quieres que te de uno dímelo). Eso sí las derivadas parciales han de existir es, pues una condición necesaria pero no es suficiente.

Es decir que con la existancia de las derivadas parciales solo puedes llegar a dos conclusiones:
-Existen las derivadas parciales y la función podría ser diferenciable.
-No existen las derivadas parciales y, directamente, no hace falta mirar si será diferenciable porque no puede ser.

Ahora bien, la condición suficiente de que $f$ sea diferenciable en $u_0$ es que existan las derivadas parciales y que éstas sean continuas en un entorno de $u_0$ (más precisamente en un 2-bola centrada en $u_0$).

Todas las condiciones de diferenciabilidad son locales así que no hay una manera para un punto y otra para un conjunto. Si muestras que las condiciones se cumplen para cada punto de un conjunto entonces $f$ será diferencable en dicho conjunto.

Un saludo.

[AlejandroR]

Re: Función diferenciable.

entonces, para saber si una función es diferenciable? se le hace sus derivadas parciales, y si es continua, en las 2, entonces es diferenciable,no?

Gracias!

- - - Actualizado - - -

osea, si aplico la otra fórmula, y me sale convergente, entonces es diferenciable, no?

claro, ya que existe la derivada y es continua... , pero para ver que sea diferenciable a mayor que 0? no sería mejor derivar y luego ver si es continua para x>0 e y igual?

un saludo!

[alespa07]

Re: Función diferenciable.

entonces, para saber si una función es diferenciable? se le hace sus derivadas parciales, y si es continua, en las 2, entonces es diferenciable,no?
un saludo!

Si.

osea, si aplico la otra fórmula, y me sale convergente, entonces es diferenciable, no?

Si consigues demostrar que existe el límite enonces si. Pero recuerda que tiene que ser verdad para cualquier dirección con la te aproximes al punto donde quieres calcular la derivada.

claro, ya que existe la derivada y es continua... , pero para ver que sea diferenciable a mayor que 0? no sería mejor derivar y luego ver si es continua para x>0 e y igual?

No te entiendo .

Un saludo.

[AlejandroR]

Re: Función diferenciable.

digo que está la definición de la derivada que es el lim h->x0 f(0,h)+f(0,0)... , entonces eso indica que existe la derivada y es continua, ya que aplica el limite, no?

pero ahora si te digo el caso, comprueba que la función es continua para todo x e y mayor que 0, pues tendrías que hacer muchísimos límites, no? pero en cambio con la derivada parcial te sale más fácilmente ver si es continua en todos los x e y mayor que 0, no?

[alespa07]

Re: Función diferenciable.

digo que está la definición de la derivada que es el lim h->x0 f(0,h)+f(0,0)... , entonces eso indica que existe la derivada y es continua, ya que aplica el limite, no?

Que exista él límite, y por lo tanto la derivada, en un punto no significa que la derivada sea continua en dicho punto.

pero ahora si te digo el caso, comprueba que la función es continua para todo x e y mayor que 0, pues tendrías que hacer muchísimos límites, no? pero en cambio con la derivada parcial te sale más fácilmente ver si es continua en todos los x e y mayor que 0, no?

Suele se más fácil. Pero siempre depende de que función estemos hablando aunque en general es lo más sencillo que puedes hacer.

Un saludo.

[AlejandroR]

Re: Función diferenciable.

cuando te dicen que calcules el gradiente en tal punto, haces el gradiente y sustituyes el valor de x e y por ese punto, no?