1r ciclo Stokes II

[neometalero]

Sea una semiesfera ${r}^{2 }={a}^{2 }({r}^{2 }={x}^{ 2}+{y}^{2 }+{z}^{2 })$con $z\geqslant0$ y sea el vector A:${A}_{z }=-y, {A}_{y }=x, {A}_{ z}=0$. Calcula los dos miembros del T.Stokes donde la integral curvilinea va sobre el borde de la semiesfera y la integral de superficie sobre la semiesfera.

[Centaurus]

Re: Stokes II

Calculando el flujo del rotor:

$\vec{S}=(asen\theta cos\varphi ,asen\theta sen\varphi,acos\theta)$

$\theta \epsilon \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$

$\varphi \epsilon \left [ 0,2\pi \right ]$

$rot\vec{F}=\begin{vmatrix}<br /> i & j & k\\ <br /> \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ <br /> -y & x & 0<br /> \end{vmatrix}= (0,0,2)$

$\vec{S}_{\theta }= (acos \theta cos \varphi ,acos \theta sen \varphi, -asen \theta)$

$\vec{S}_{\varphi }= (-asen \theta sen \varphi ,asen \theta cos \varphi, 0)$

$\vec{S}_{\theta }\times \vec{S}_{\varphi }=(a^{2}sen^{2}\theta cos\varphi,a^{2}sen^{2}\theta sen\varphi,a^{2}sen\theta cos\theta )$

$\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(0,0,2)(a^{2}sen^{2}\theta cos\varphi,a^{2}sen^{2}\theta sen\varphi,a^{2}sen\theta cos\theta )d\theta d\varphi$

$\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}2a^{2}sen\theta cos\theta d\theta d\varphi = 2\pi a^{2}$

Calculando la integral de línea:

$\vec{C}=(acos\theta ,asen\theta ,0)$

$\theta \epsilon \left [ 0,2 \pi \right ]$

$\int_{0}^{2\pi }(-asen\theta ,acos\theta ,0)(-asen\theta ,acos\theta ,0) d\theta$

$\int_{0}^{2\pi }a^{2}d\theta=2\pi a^{2}$

[neometalero]

Re: Stokes II

Tal y como me había dado a mi, gracias!!!