1r ciclo Volumen encerrado en el espacio

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que llevo intentanto 1:30 horas, literalmente. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias.

Halla el volumen encerrado por el cono: $x^2+y^2=z^2$ y el plano $2z-y-2=0$.

[Centaurus]

Re: Volumen encerrado en el espacio

Pues, si alguien lo puede revisar para ver si está bien me quedaría más tranquilo.

El razonamiento sería:

Despejando Z de la ecuación del plano y reemplazándola en la del cono queda definida la curva intersección.

Completando cuadrados se llega a la ecuación de una elipse que definirá la región D de integración.

$\frac{x^{2}}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2}+\frac{(y-\frac{2}{3})^{2}}{(\frac{4}{3})^{2}}=1$

Teniendo en cuenta que $\sqrt{x^{2}+y^2}\leqslant z\leq \frac{2+y}{2}$

Se llega a $\int \int _{D}\frac{2+y}{2}-\sqrt{x^{2}+y^2} dA$

[Physicist]

Re: Volumen encerrado en el espacio

Muy buenas:

Se me ocurre, para darle otro enfoque porque los límites de integración y la región considerada son algo raros de visualizar, que puedes hallar los extremos relativos del cono usando la ecuación del plano que te dan como ligante (con el método de los multiplicadores de Lagrange, por ejemplo). Usa estos extremos para integra la ecuación del cono y debería darte.

[Centaurus]

Re: Volumen encerrado en el espacio

Por cierto ¿Tienes la respuesta? Usando coordenadas polares se simplificó un poco y teniendo en cuenta que la elipse tiene un foco en (0,0) me quedó la siguiente expresión:

$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{2}{2-sen\theta }} \rho +\frac{\rho ^{2}}{2}sen\theta -\rho ^{2}d\rho d\theta = \frac{2}{3}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(2 - sen\theta)^{2}}d\theta = \frac{8\pi }{9\sqrt{3}}$