Secundaria Sobre desigualdades

[eduardo2384]

Saludos amigos, aqui con otro problemita, el cual no puedo hacer más , dice así:

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Encontrar el valor máximo para $K$ si $\forall x,y,z\in\mathbb{R}^{+}$:

$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^3}{3}+\dfrac{z^6}{6}\geq{Kxyz}$

E indicar $K^2+1$







Posibles respuestas:

a)2
b)3
c)4
d)5
e)1

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Yo intenté aplicar la desigualdad de la media aritmetica y geométrica, lo que resultó:

$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^3}{3}+\dfrac{z^6}{6}\geq3yz^2\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{36}}$ pero no sé que más hacer. ¿Me pueden dar una ayuda?


Gracias

[alespa07]

Re: Sobre desigualdades

Hola.

Ante todo quisiera saber qué convenio usas. A veces $\mathbb{R}^+$ inculye 0 y a veces no.

No me lo he mirado detenidamente pero en el caso de excluir $(x,y,z)=(0,0,0)$ se puede mostrar facilmente que $K\leq 1$. Para ello basta con despejar $K$ de la desigualdad (ya que se puede dividir si las variables son no nulas) y evaluar en $(x,y,z)=(1,1,1)$ (puesto que la desigualdad ha de ser válida para cualquier $(x,y,z)$).

Entonces, según las posibilidades que te dan para $K^2+1$ sólo son posibles 1 (si $K=0$) o 2 (si $K=1$).

Supongo que, para seguir, deberías de estudiar la función de tres variables $f(x,y,z)=\dst\frac{x^2}{2}+\dst\frac{y^3}{3}+\dst\frac{z^6}{6}-xyz$. Si consigues encontrar un mínimo absoluto y en dicho valor la función es positiva entonces $K=1\Rightarrow K^2+1=2$ sería tu solución. No lo he hecho así que no te puedo decir.

Cuéntanos quetal y le echaría otro ratito si no resultase.

Un saludo.