1r ciclo Integral doble facilita

[gdonoso94]

Hola, tengo una duda sobre cómo realizar este ejercicio:

$\dst\iint_S \sqrt{x^2+y^2}\dd x \dd y$

Donde S es un triángulo con los vértices en los puntos O(0,0), A(1,-1) y B(1,1).

Bien, los límites de integración son fáciles de hallar: $0\leqslant x\leqslant 1$ y $-x\leqslant y\leqslant x$.

Ahora la integral hay que pasarla a coordenadas polares, en cartesianas es demasiado pesado integrar eso. ¿Cómo cambio los límites de integración de esta integral en polares?

Seguro que es muy facil pero llevo 20 minutos mirando la integral y nada...

Un saludo!

[Elkin]

Re: Integral doble facilita

Hola, tengo una duda sobre cómo realizar este ejercicio:

$\dst\iint_S \sqrt{x^2+y^2}\dd x \dd y$

Donde S es un triángulo con los vértices en los puntos O(0,0), A(1,-1) y B(1,1).

Bien, los límites de integración son fáciles de hallar: $0\leqslant x\leqslant 1$ y $-x\leqslant y\leqslant x$.

Ahora la integral hay que pasarla a coordenadas polares, en cartesianas es demasiado pesado integrar eso. ¿Cómo cambio los límites de integración de esta integral en polares?

Seguro que es muy facil pero llevo 20 minutos mirando la integral y nada...

Un saludo!

Hola,


El integrando supongo sabes que es $r$, mientras $dxdy$ lo debes cambiar por $rdrd/theta$, en cuanto a los límites, debes ver desde donde hasta dónde va el angulo, en este caso - pi/4 hasta pi/4, y supongo el difícil es el de la parte radial, para eso se debe ver que el triángulo que se forma tiene una línea vertical que pasa por: $x=1$ pero sabiendo que $x=rcos/theta=1$ despejas r, y ya la tienes.

saludos

-------
Si, así es, no he visto si sea fácil de resolver, aunque supongo que sí.

[gdonoso94]

Re: Integral doble facilita

Vamos, que me quedaría: $-\frac{\pi}{4}\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{4}$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . ¿No?

Saludos!

[Centaurus]

Re: Integral doble facilita

Para dar otra opción.

Propongo el cambio de variables

$x=u$

$y=mu$

$m \epsilon \left [ -1,1 \right ]$

$u \epsilon \left [ 0,1 \right ]$

$\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1}u^{2}\sqrt{1+m^{2}} dudm =\frac{1}{3}\int_{-1}^{1}\sqrt{1+m^{2}}dm$

[gdonoso94]

Re: Integral doble facilita

Gracias centauro, pero lo que quiero evitarme es hacer el cambio de variable al integrar (aunque realice un cambio de variable para ello).