1r ciclo Teorema de Stokes

[gdonoso94]

Hola, he hecho el siguiente ejercicio con el teorema de Stokes (lo dice el propio enunciado) y me sale el resultado que tiene que salir pero con signo negativo:

Compruebe el teorema de Stokes para el campo vectorial $\vec{F}=(x^2+y-4)\vec{i}+3xy\vec{j}+(2xz+z^2)\vec{k}$ en la parte de la superficie $z=4-x^2-y^2$ con z mayor o igual a 0.

Bien he hecho el rotacional y he sacado el vector normal:

$$\dst\vec{N}=2x\vec{i}+2y\vec{j}+\vec{k}$$

$$\dst\nabla \times\vec{F}=-2z\vec{j}+(3y-1)\vec{k}$$

Después de hacer el producto escalar entre estos, me queda la integral:

$$\dst\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{sqrt{4-x^2}} (4y^3+4yx^2-13y-1) \dd y \dd x = -4\pi$$

Según wolfram alpha ese es el resultado, pero debería ser $4\pi$. ¿Alguien sabe dónde puede estar el fallo? (seguramente sea un error garrafal estúpido, pero no lo encuentro )

Un saludo!

[carlosphy]

Re: Teorema de Stokes

El límite superior de la integral con respecto a y debería ser sqrt(4-x^2), creo que es eso.

[gdonoso94]

Re: Teorema de Stokes

Perdón, eso es un error de tipografía, el límite al hacer la integral está bien puesto.

[carlosphy]

Re: Teorema de Stokes

A mi el rotacional que me da en Wolfram es:

[gdonoso94]

Re: Teorema de Stokes

http://www.wolframalpha.com/input/?i...2xz%2Bz%5E2%29

¿?

[carlosphy]

Re: Teorema de Stokes

http://www.wolframalpha.com/input/?i...2C2xz%2Bx^2%29

Había insertado una imagen en el mensaje anterior pero ha desaparecido.

[gdonoso94]

Re: Teorema de Stokes

Uf, fallo mío al copiar la función, la tercera componente es z^2 no x^2. Perdón por el error.

Lo corrijo arriba.

Saludos

[jeronimo basa]

Re: Teorema de Stokes

Una pregunta, la respuesta debe dar 4π? es decir ese es el valor de la integral curvilínea del campo alrededor de la curva que encierra la superficie dada?. Quizá el error esté en la interpretación del teorema de Stokes, hay que tener en cuenta que dicho teorema está definido para una curva cerrada tomada en sentido anti-horario y que la normal de la superficie que encierra la curva sea aquella que apunta "hacia afuera", digo esto porque el error no es numérico en sí, sino una cuestión del signo, algo que es comunmente afectado por las hipótesis que plantea el teorema.

[Breogan]

Re: Teorema de Stokes

Hola:

No me acuerdo mucho del tema, pero el camino de integración que te da el enunciado no es una circunferencia contenida en el plano XY?, y el flujo del rotor de F no debe ser igual para todas las superficies que cumplan las condiciones (continuidad, conectividad, etc.), y que tienen como limite el mismo camino?

Si es así, y el enunciado no dice lo contrario, no es mas cómodo usar la superficie mas sencilla aceptable?, que en este caso seria un circulo en el plano XY y de radio 2, y cuyo vector normal tiene la dirección de z, siempre y cuando hayas recorrido el camino de la integral de linea en sentido "anti-horario" en XY. Por lo menos para verificar.

Es una opinión, no me acuerdo tanto como para afirmarlo !!!!!!

Suerte

[gdonoso94]

Re: Teorema de Stokes

Gracias a los dos, pero el vector está bien tomado, la circulación es en sentido antihorario.

Breogan, quizá sea más facil hacerlo de esa otra manera, pero me pide que compruebe el teorema de Stokes, así que también lo tengo que hacer así. A lo mejor está mal el resultado que me dieron.

Probaré más alante a volver a hacerlo.

Muchas gracias a todos.

[hoja en blanco]

Re: Teorema de Stokes

Hola gdonoso94,
No sé si aún sigues con la duda pero como vi que te quedaste con ella al final de la conversación, he decidido probar a ver si puedo convencerte.
La mayoría de superfícies son orientables. En el teorema de Stokes es importante decidir el sentido de recorrido. No importa cuál se elija, mientras luego se sea consecuente.
Quiero decir, uno puede definir como positivo el sentido del vector n que quiera, siempre y cuando luego use correctamente la regla de la mano derecha para decidir el sentido positivo de recorrido de la curva al otro lado de la igualdad del teorema de Stokes. Si se elige un sentido de n como positivo, el recorrido de la curva será uno a su vez; si se elige el otro sentido positivo, la curva deberá recorrerse al revés.
Vosotros habláis de dejar la curva a la izquierda. Esta es la "normal hacia arriba" que se suele usar, sobretodo por convenio en las superficies cerradas (aquí es mejor decir hacia fuera). Pero pensad que si uno anda "boca abajo" también dejaría la superfície a la izquierda y se puede recorrer en sentido contrario.

Resumiendo: para comprobar el teorema de Stokes hay que escoger un sentido (o de recorrido de la curva o de vector superficie) y luego el otro queda fijado. Segun la elección, los dos lados de la igualdad de Stokes daran un resultado o - ese resultado. La decisión es un convenio. En superfícies cerradas se suele escoger el que "sale" de la superfície" mientras que en superfícies abiertas no está tan claro. Si desean insistir en este punto, deben dejar claro cuál hay que escoger.
Al menos eso es lo que yo sé y recuerdo.

Ya en el ámbito de la física, la integral de línea aparece sobretodo a la hora de calcular el trabajo realizado por una fuerza contra un campo. En esos casos no suele haber problema a la hora de decidir el recorrido y el resultado es fácilmente interpretable. Segun si es negativo o positivo se dice que el trabajo ha sido hecho por el campo o bien por el agente externo. Al fin y al cabo, la aplicación del teorema es lo que cuenta. l
Espero no haberte aburrido con este mensaje tan largo.
Saludos.