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Buenas, les dejo un problema de un examen de Cálculo II que me parece complicado.
Considere la supercie generada al girar parte de la cardioide
a) Parametrice la supercie de revolucion que se obtiene al girar dicha curva alrededor del eje X.
b) Con su ayuda, demuestre que el volumen que encierra dicha supercie es (64\pi a^3)/3
El apartado a) es asequible si paso la curva a cartesianas luego aplico el método de una superficie de revolución alrededor del eje X y me queda:
Para el apartado b) dado que me dicen que use la parametrización, lo unico que se me ocurre es usar el teorema de Gauss con un campo tal que su divergencia sea el la función 1, el volumen, dicho campo podría ser: F (x,y,z)=(x,0,0). Luego iba a intentar hacer el flujo con este campo cuando me di cuenta de lo que iba a obtener...
Simplemente el determinante del producto vectorial de los dos vectores tangentes ocupa varias lineas en el Mathematica. El problema está acabado con el Mathematica y efectivamente da lo que tiene que dar. La cuestion es que este problema se repite en mas de una ocasión en los examenes y la verdad es que solo el procedimiento me llevaria medio examen. No sé si a alguien se le ocurre un proceso más eficiente que el mio, más rapido, porque como tenga que usar esto... vamos apañaos. Gracias.
Considere la supercie generada al girar parte de la cardioide
a) Parametrice la supercie de revolucion que se obtiene al girar dicha curva alrededor del eje X.
b) Con su ayuda, demuestre que el volumen que encierra dicha supercie es (64\pi a^3)/3
El apartado a) es asequible si paso la curva a cartesianas luego aplico el método de una superficie de revolución alrededor del eje X y me queda:
Para el apartado b) dado que me dicen que use la parametrización, lo unico que se me ocurre es usar el teorema de Gauss con un campo tal que su divergencia sea el la función 1, el volumen, dicho campo podría ser: F (x,y,z)=(x,0,0). Luego iba a intentar hacer el flujo con este campo cuando me di cuenta de lo que iba a obtener...
Simplemente el determinante del producto vectorial de los dos vectores tangentes ocupa varias lineas en el Mathematica. El problema está acabado con el Mathematica y efectivamente da lo que tiene que dar. La cuestion es que este problema se repite en mas de una ocasión en los examenes y la verdad es que solo el procedimiento me llevaria medio examen. No sé si a alguien se le ocurre un proceso más eficiente que el mio, más rapido, porque como tenga que usar esto... vamos apañaos. Gracias.