1r ciclo Volumen de sólido

[leo_ro]

Encuentre el volumen del sólido dado:
El tetraedro sólido con vértices (0,0,0) (0,0,1),(0,2,0) y (2,2,0)

Les cuento lo que hice. Plantie un cambio de variables. El volumen está dado por un plano y los planos z=0, y=0, x=0.

El plano lo obtube de la ecuación paramétrica del plano, mediante los puntos de los vertices (0,0,1) y los vectores $(<0,0,1>-<0,2,0>)=<0,-2,1>$y $(<0,0,1>-<2,2,0>)=<-2,-2,1>$

$\vec{r}(u,v)= -2v\hat{\imath}+(-2u-2v)\hat{\jmath}+(1+u+v)\hat{k}$

Las ecuaciones paramétricas son:

$x(u,v)=-2v$ así que $u(x,y)=-\frac{x}{2 }$

$y(u,v)= -2u-2v$ así que $v(x,y)=- \frac{y}{2 }+\frac{x}{2 }$

Evalúo los puntos para obtener los límites de integración:

$-1\leqslant v \leqslant 0$ y $-1 \leqslant u \leqslant 0$

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v) } = -4$

${\vec{r}}_{u}=-2\hat{j}+\hat{k}$ y ${\vec{r}}_{v}=-2\hat{i}-2\hat {j}+\hat{k}$

$\left\vert{} {\vec{r}}_{u} \times {\vec{r}}_{v} \right\vert{}= \sqrt{20}$

Por lo que finalmente la integral es:

${\int}_{-1}^{0} {\int}_{-1}^{0} -4\sqrt{20} du dv = -4\sqrt{20}$

Pero el resultado que da el libro es: $\frac{2}{3 }$

¿Me podrían dar una ayuda en donde está el error?

Saludos.

[Breogan]

Re: Volumen de sólido

Hola:

Primero te aclaro que no me acuerdo nada de este tema así que mal puedo revisar lo que hiciste, pero hay algo que me hizo ruido.

Los vértices (puntos) originales del problema son (0,0,0), (0,0,1), (0,2,0), y (2,2,0), no? y luego afirmas que:

El volumen está dado por un plano y los planos z=0, y=0, x=0.

Pero el tetraedro con esos vértices esta formado por los planos coordenados xy (z=0) e yz (x=0) y dos planos inclinados que cortan a los ejes en (0,0,0), (0,0,1), y (2,2,0) uno, y (0,0,1), (0,2,0), y (2,2,0) el otro; o estoy metiendo la pata hasta el caracu (disculpa si es así).

Suerte

[leo_ro]

Re: Volumen de sólido

Acá está la gráfica del plano que doy en ecuaciones paramétricas y los planos coordenados.


La verdad que al parecer no está bien el plano, pero no tengo ni idea de como parametrizarlo con los puntos.

[Breogan]

Re: Volumen de sólido

Hola:

Lamento no poder ayudarte mas, pero lo único que puedo hacer es postear un dibujo de como creo que tiene que quedar el tetraedro, no esta en escala.

Espero te sirva de algo.

Suerte

PD: ahora que veo los dos dibujos juntos parece que el plano que encontraste es el correcto, pero para formar el tetraedro te falta un plano que es vertical y esta dado por los puntos P1, P2, y P4 (según mi dibujo).
Creo que el problema esta en los limites de integración que usaste en la integral, tu recinto de integración es el triangulo que esta contenido en el plano xy.

x va a variar entre 0 y 2, e y variara entre y=x e y=2, parece que cuando integraste lo hiciste en un cuadrado, creo.

Suerte

[sater]

Re: Volumen de sólido

Se hace con un producto mixto. Saca tres vectores desde el punto (0,0,0) y haces el producto mixto y es un sexto de este. Creo que es así un saludo

[leo_ro]

Re: Volumen de sólido

Claro tienes razón breoglan me comí el entorno en el plano xy. Pero se da la particularidad que yo hice un cambio de variable por lo que los límites tienen que estar según uv. Lo que he encontrado son:

$-1<u<0$ y $-2u<v<-1-v$

Aún así sigo sin obtener el resultado correcto. A los límites los encontré mediante las ecuaciones paramétricas de $u(x,y)-$ y $v(x,y)$

saludos.

[angel relativamente]

Re: Volumen de sólido

Quizá convenga prestar atención a lo que propone Sater. El producto mixto de tres vectores da el volumen del paralelepípedo que determinan (esto se ve casi por la definición de producto mixto), y el área del tetraedro es fácil ver que es 1/6 la del paralelepípedo.

Un saludo.

[javier m]

Re: Volumen de sólido

Yo lo hice así

Hallé la ecuación del plano usando la regla del determinante y llegué a que $z=1-\frac12 y$

Donde el plano corta el plano xy en y=2, de modo que la base del tetraedro está dada por la región {$D={(x,y)|x\leqslant y \leqslant2, 0\leqslant x \leqslant2}$} (ver el diagrama de Breogan)

De modo que $V=\dst\int_0^2 \int_x^2 (z-0) dy dx=V=\dst\int_0^2 \int_x^2 (1-\frac12 y) dy dx=\frac23$

El producto mixto de tres vectores da el volumen del paralelogramo

no es paralelepipedo ?

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tiene que ser con parametricas?

[sater]

Re: Volumen de sólido

Pero entonces mi forma es incorrecta?

[angel relativamente]

Re: Volumen de sólido

Sí Javier, perdona el despiste

Haciéndolo por el método Sater también funciona. Se tiene que

$$V = \text{abs} \left( \dfrac {1}{6} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} \right) =\dfrac{2}{3}$$

Donde indico con abs el valor absoluto.

Saludos