Otras carreras Volumen de sólido encerrado entre superficies. Ayuda.

[tate]

Hola, la verdad es que no sé por dónde meterle mano a estos dos ejercicios, ¿alguien me puede echar una mano? No pido que me lo resulevan entero, solo una guía de más o menos cómo se plantearía...aunque creo que será con integrales triples, no?

Saludos y gracias de antemano.

[jeronimo basa]

Re: Volumen de sólido encerrado entre superficies. Ayuda.

a) El sólido es un paraboloide acotado por arriba con el plano z = 2. Haciendo la proyección sobre el plano xy de la intersección entre el paraboloide y el plano, nos queda x²+y² = 4 (en z=2), lo que pasando a coordenadas cilíndricas nos da r² = 4, es decir, r = 2. De la fórmula del paraboloide, sabemos que r² = 2z o r²/2 = z. Sólo queda escribir los límites de integración (no hay restricción sobre los cuadrantes donde se ubica el sólido) {0 ≤ θ ≤ 2$\pi$, 0 ≤ r ≤ 2, r²/2 ≤ z ≤ 2}

El volumen será simplemente la triple integral del jacobiano, rdrdθdz

Que alguien me corrija si me equivoco

[tate]

Re: Volumen de sólido encerrado entre superficies. Ayuda.

Hola, gracias por tu respuesta, me ha sido de gran ayuda,

He usado los siguientes límites de integración (en coordenadas cilíndricas)

{0 ≤ θ ≤ 2, 0 ≤ r ≤ 2, r² ≤ z ≤ 4}

¿Serviría también, me equivoco?

El resultado que me da es que el volumen es 8





¿Alguna sugerencia para el apartado b? Muchas gracias de antemano.

[Al2000]

Re: Volumen de sólido encerrado entre superficies. Ayuda.

En el (a) yo obtengo un volumen igual a $4 \pi$. Hice el cálculo con una integral sencilla, dividiendo el paraboloide en discos de radio $r = \sqrt {2 z}$ y grosor infinitesimal $dz$, integrando desde $z = 0$ hasta $z = 2$: $\dst V =\int_{0}^{2}\!\! \pi \cdot 2 z\, dz = 4 \pi$.

En el inciso (b) de nuevo se trata de un paraboloide, esta vez "metido" dentro de un cilindro. El cilindro $x^2 + y^2 = 9$, de radio 3, intercepta el paraboloide $x^2 + y^2 = 3 z$ en $z = 3$. Puede hallarse el volumen comprendido entre las dos superficies (y el plano $z = 0$) en forma simple dividiendo el volumen en cáscaras cilíndricas de radio $r$, grosor $dr$ y altura $\dst z = \frac {r^2} 3$: $\dst V = \int_{0}^{3}\!\! 2 \pi r \cdot \frac {r^2} 3 \, dr = \frac {27} 2 \pi$, o hacer un cálculo similar al del inciso (a) restando el volumen obtenido al volumen del cilindro: $\dst V = \pi \cdot 9 \cdot 3 - \int_{0}^{3}\!\! \pi \cdot 3 z\, dz = \frac {27} 2 \pi$.

Saludos,

Al

[tate]

Re: Volumen de sólido encerrado entre superficies. Ayuda.

Vale, acabo de comprobarlo con los límites de integración de jerónimo y también sale 4pi el apartado a).


Muchas gracias Al...tu forma es mucho más sencilla jeje, pero necesitaría saber cómo podría plantearlo usando la integral triple (el apartado b nada más), porque no logro ver los límites de integración.

Saludos y gracias.

[Al2000]

Re: Volumen de sólido encerrado entre superficies. Ayuda.

Mira, considera que cortas el sólido con un plano con $z = \text {ctte}$. El corte se ve en el plano XY como una región anular de radio interno $r_i = \sqrt {3 z}$ y radio externo $r_e = 3$. Entonces el volumen lo obtienes sumando, para cada $z$, desde $z = 0$ hasta $z = 3$, el producto del área de esta región anular multiplicada por su grosor $dz$: $\dst V = \int_{0}^{3}\!\! A\, dz$. ¿Cómo determinas $A$? Bueno, según tu gusto podrías simplemente usar las fórmulas conocidas del área de un círculo para plantear que $A = \pi (r_e^2 - r_i^2) = \pi (9 - 3 z)$. Si sigues por este camino, habrás hallado el volumen de la última forma que escribí en mi mensaje anterior.

Si aún deseas resolver el problema usando una integral triple, entonces escribe la integral doble para hallar $A$ (o una integral simple, dependiendo cómo elijas el diferencial de área) y sustitúyelo en la integral anterior para que tengas tu bonita integral triple (o doble). Te dejo el ejercicio del cálculo de $A$ con una integral doble (o simple).

Saludos,

Al