1r ciclo Otra serie

[neometalero]

Saludos de nuevo foreros. Sea la serie numérica definida por ${u}_{0 }=2$ y para todo entero natural n ${u}_{ n+1}=\frac{2}{3 }{u}_{n }+\frac{1}{3 }n+1$, se pide demostrar que para todo entero natural n se cumple que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , así como demostrar que para todo entero natural n se cumple que ${u}_{ n+1}-{u}_{ n}=\frac{1}{3 }(n+3-{u}_{ n})$.
Alguna sugerencia???

[[Beto]]

Re: Otra serie

Intenta usar inducción.

[neometalero]

Re: Otra serie

Gracias, ya lo hice. Estoy con el otro que no consigo sacarlo

- - - Actualizado - - -

Hola de nuevo, en el mismo ejercicio me piden luego que, una vez definida una nueva serie ${v}_{n }={u}_{n }-n$, demostrar que la serie es geométrica de razon 2/3. Eso creo que lo he logrado correctamente pero luego pude que se deduzca que para todo entero natural n, se cumple que:

$${u}_{n }=2{(\frac{2}{3 }})^{ n}+n$$

y aquí si que ando algo perdido. Alguna sugerencia sobre de dónde partir???

[Breogan]

Re: Otra serie

Hola:

Hola de nuevo, en el mismo ejercicio me piden luego que, una vez definida una nueva serie ${v}_{n }={u}_{n }-n$, demostrar que la serie es geométrica de razon 2/3. Eso creo que lo he logrado correctamente pero luego pude que se deduzca que para todo entero natural n, se cumple que:

$${u}_{n }=2{(\frac{2}{3 }})^{ n}+n$$

y aquí si que ando algo perdido. Alguna sugerencia sobre de dónde partir???

La serie estaba definida por:

${u}_{0 }=2$
$\dst {u}_{ n+1}=\frac{2}{3 }{u}_{n }+\frac{1}{3 }n+1 \quad \forall n \ \in \mathbb{N}$

y la nueve serie es:

${v}_{n }={u}_{n }-n$

de esta ultima:

${v}_{n+1}={u}_{n+1}-(n+1)$

${v}_{n+1}={u}_{n+1}-n-1$

Reemplazando la definición de u_n+1, queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde $\dst v_1= \frac 4 3$


reemplazando u_n por su dependencia de v_n queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $\dst v_1=\frac 4 3$ por lo cual $v_0 = 2$

reescribiéndola:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\forall \ n \ \in \ \mathbb{N}$

También la podemos escribir de la siguiente forma:

$\dst v_n = 2 \left( \frac 2 3 \right)^n \quad \forall \ n \ \in \ \mathbb{N}$

Ahora reemplazamos la anterior en :

${v}_{n }={u}_{n }-n$

$\dst 2 \left( \frac 2 3 \right)^n ={u}_{n }-n$

por lo cual:

$\dst {u}_{n } = 2 \left( \frac 2 3 \right)^n + n$

s.e.u.o.

Suerte

[neometalero]

Re: Otra serie

Puedo decir que el límite de dicha serie es infinito? El término entre paréntesis tiende a 0, porque la razón es menor que 1 y mayor que -1 y me quedaría hacer el límite tan solo de n cuando n tiende a infinito no? Es asi de sencillo?

Por otro lado, para todo entero natural, se expresa:

$${S}_{n }=\sum_{n = 0}^\infty{u}_{ k}={u}_{ 0}+{u}_{ 1}+...+{u}_{ n}$$

y además

$${T}_{n }=\frac{{S}_{ n}}{ {n}^{ 2}}$$

Se pide expresar ${S}_{n }$ en función de n y hallar el límite de la serie ${T}_{ n}$. Debo considerar la formula de la suma de una serie geométrica o de una progresión geométrica?
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Breogan]

Re: Otra serie

Hola:

Por otro lado, para todo entero natural, se expresa:

$${S}_{n }=\sum_{n = 0}^\infty{u}_{ k}={u}_{ 0}+{u}_{ 1}+...+{u}_{ n}$$

y además

$${T}_{n }=\frac{{S}_{ n}}{ {n}^{ 2}}$$

Acá creo que hay un pequeño error, para mi la 1º ecuación debería ser:

$\dst S_n = u_0 + u_1 + u_2 + .... + u_n$

$\dst S_n = \sum_{k = 0}^n u_k$

En cuanto a la 2º ecuación te la pide y define el enunciado, no? es parte del problema?

Se pide expresar ${S}_{n }$ en función de n y hallar el límite de la serie ${T}_{ n}$. Debo considerar la formula de la suma de una serie geométrica o de una progresión geométrica?
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Creo que la progresión es un grupo ordenado de infinitos elementos que tienen una formula de recurrencia que sirve para generar cada elemento de ella, y la serie es la suma de un numero (finito o no) de elementos también relacionados con una formula de recurrencia
Por ejemplo con la definición:

$\dst v_n = 2 \left( \frac 2 3 \right)^n \quad \forall \ n \ \in \ \mathbb{N}$
podemos escribir una progrecion (o sucesión):

$\dst \left\{2;4/3;8/9;16/27;.....\right\}$

o distintas series basadas en la misma formula de recurrencia:

$\dst S_3 = \sum_{i = 0}^3 \ v_i \ = 2 +\frac 4 3 \ +\frac 8 9 \ +\frac {16}{27}$

$\dst S_n = \sum_{i = 0}^n \ v_i \ = 2 +\frac 4 3 \ +\frac 8 9 \ +\frac {16}{27} +....+v_n$

$\dst S_\infty = S = \sum_{i = 0}^\infty \ v_i \ = 2 +\frac 4 3 \ +\frac 8 9 \ +\frac {16}{27} + ........$

$\dst S_{m,n} = \sum_{i = m}^n \ v_i \ = v_m + ... +v_n$

Ambas formulas que pones son para serie geometricas, la mas general seria:

$\dst S_{m,n} = a_0 \frac{r^{n+1}-r^m}{r-1}$

donde r es la razón de la serie geométrica.
Si en la serie geométrica m=0 la anterior queda:

$\dst S_n = S_{0,n} = a_0 \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$

y si la serie es infinita ($n\to\infty$), empezando por el elemento n=0, queda:

$\dst S = S_\infty = a_0 \frac 1 {1-r}$

Ojo!, te aclaro nuevamente que tome con pinzas lo hasta acá dicho por mi dado que soy un poco neófito en el tema, puede haber alguna diferencia con los exponentes de las formulas que escribiste, creo que puede venir de que yo incluí el cero dentro de los números naturales, y en algunos libros no lo incluyen, no se!

Puedo decir que el límite de dicha serie es infinito? El término entre paréntesis tiende a 0, porque la razón es menor que 1 y mayor que -1 y me quedaría hacer el límite tan solo de n cuando n tiende a infinito no? Es asi de sencillo?

Si te referis a el limite de la serie infinita, este no es infinito es 6:

$\dst S = S_\infty = 2 \ \frac 1 {1-\dst \frac 2 3}$

El termino de la serie o de la sucesión, cuando n tiende a infinito, es cero por la razón que dijiste.

s.e.u.o.

Suerte