1r ciclo Gradiente de un vector resta

[gdonoso94]

Hola, haciendo unos ejercicios de repaso de cálculo diferencial me he topado con el siguiente:

Sea $\vec{r}$ la separación entre dos puntos $r$ y $r'$, y sea $|r|$ su longitud. ¿Cuál es la fórmula general para $\nabla(|r|^n)$?

Para resolverlo yo hago lo siguiente. El vector r es $\vec{r}=(x-x')\hat{x}+(y-y')\hat{y}+(z-z')\hat{z}$. Su módulo viene dado por:

$$\dst\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$$

Ahora bien, la potencia n-ésima del módulo es:

$$\dst |r|^n=\left( (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2\right)^{n/2}$$

Al derivar eso respecto de x, y y z:

$$\dst \frac{\partial f}{\partial x}=n|r|^{n-1}(x-x')$$

$$\dst \frac{\partial f}{\partial y}=n|r|^{n-1}(y-y')$$

$$\dst \frac{\partial f}{\partial z}=n|r|^{n-1}(z-z')$$

Entonces el resultado final viene dado por:

$$\dst\nabla (|r|^n)=\vec{r}\cdot n\cdot\frac{|r|^n}{|r|}$$

Para comprobarlo, en el libro tengo el resultado para cuando n=-1, el cual es:

$$\dst\nabla\left(\frac{1}{|r|}\right)=-\frac{\hat{r}}{|r|^2}$$

El resultado concuerda con el mío, lo que no entiendo es por qué en el libro aparece el vector r como unitario (con el sombrerito encima) y a mí me sale con la flecha. ¿Es una confusión mía o tengo algo mal?

Gracias y un saludo.

[Breogan]

Re: Gradiente de un vector resta

Hola:

Creo que el error esta cuando hallas las derivadas parciales.

El modulo del vector es:

$\dst |\vec r|=\left[ (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2\right]^{1/2}$

y la derivada de este elevado a la n es:

$\dst \frac{\partial |\vec r|^n}{\partial x}=n \ |\vec r |^{n-1}\ \frac{\partial |\vec r|}{\partial x}$

$\dst \frac{\partial |\vec r|}{\partial x}= \frac 1 2 \ \left[ (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2\right]^{-1/2}\ 2 \ (x-x')$

$\dst \frac{\partial |\vec r|}{\partial x}= \frac {(x-x')}{\left[ (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2\right]^{1/2}}$

$\dst \frac{\partial |\vec r|}{\partial x}= \frac {(x-x')}{|\vec r|}$

Por lo cual la derivada parcial queda:

$\dst \frac{\partial |\vec r|^n}{\partial x}=n \ |\vec r |^{n-1}\ \frac {(x-x')}{|\vec r|}$

Lo mismo con las otras derivadas, y usando la definición de gradiente te queda:

$\dst \vec \nabla |\vec r |^n=n \ |\vec r|^{n-1}\ \frac {\vec r}{|\vec r |}$

$\dst \vec \nabla |\vec r |^n=n \ |\vec r|^{n-1}\ \hat r$

Creo

s.e.u.o.

Suerte

[gdonoso94]

Re: Gradiente de un vector resta

Vale, al derivar me he comido el denominador.

Muchas gracias!