1r ciclo volumen entre paraboloides

[leo_ro]

Tengo que encontrar el volumen que está limitado por las superficies: $z={x}^{2}+{y}^{2}$ ; $z=10-{x}^{2}-2{y}^{2}$

Pero tengo problemas con el planteamiento de los límites de integración. Como al parecer tiene una simetría cilíndrica, las superficies son:

$z={r}^{2}$ ; $z=10- {r}^{2}{cos}^{2} \theta - 2 {r}^{2}{sen}^{2} \theta$

El problema es que la separación entre las superficies está dada por la ecuación:

$2z=10-{y}^{2}$

Y como hasta ahora tengo entendido dicha integral de volumen tengo que plantearla por dos integrales triples. Una con respecto a la superficie inferior $z={r}^{2}$

${\int}_{0}^{2\pi} {\int}_{0}^{5} {\int}_{0}^{\sqrt{z}} {r}^{2} dr dz d\theta$

Y una segunda integral con la superficie de arriba $z=10-{x}^{2}-2{y}^{2}$

$\dst {\int}_{0}^{2\pi} {\int}_{5}^{10} {\int}_{\sqrt {\frac{10-z}{{cos}^{2}\theta - 2 {sen}^{2}\theta}}}^{0} {r}^{2} dr dz d\theta$

De dicha manera no llego al resultado correcto. En particular no sé si están planteados bien los límites y no se como delimitar la separación de las dos superficies en los integrandos. Me podrían dar una ayuda.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Vuelvo a plantear los límites de las integrales:

Para la primera los límites son:

$0\leqslant z\leqslant 5 - \frac{{r}^{2}{sen}^{2} \theta}{2 }$

$0\leqslant r \leqslant \sqrt{z}$

$0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$

Para la segunda integral los límites son:

$5 - \frac{{r}^{2}{sen}^{2}\theta}{2 } \leqslant z \leqslant 0$

$\dst \sqrt{\frac{10-z}{{cos}^{2} \theta - 2 {sen}^{2}\theta }}\leqslant r \leqslant 0$

$0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$

Pero me llama la atención el límite de integración inferior del radio que me resulta difícil integrar.

[Al2000]

Re: volumen entre paraboloides

...
De dicha manera no llego al resultado correcto...

¿Y cual es el resultado correcto? ¿ $\dst \frac {25 \sqrt 6} 3 \pi$, por casualidad?

[leo_ro]

Re: volumen entre paraboloides

es $\frac{50 \pi}{\sqrt{6}}$ pero no puedo llegar al resultado.

O sea no puedo llegar al resultado porque los límites de la integrales deben estar mal planteados, por ejemplo en la primer integral triple, z está en función del radio y de tita y el radio está en función de z. Por lo que no puede darse la integración iterada. Alguna ayuda que puedan darme se los agradecería

[Al2000]

Re: volumen entre paraboloides

Supongo te diste cuenta de que los dos resultados coinciden... Si lo puedes hacer con una integral doble, integra los paralelepípedos comprendidos entre las dos superficies abarcando toda la elipse $x^2 + y^2 = 10 - x^2 - 2 y^2 \quad \Rightarrow \quad 2 x^2 + 3 y^2 = 10$, que es la intercepción de las dos superficies. Puedes aprovechar la simetría para integrar sólo el primer cuadrante en el plano XY y multiplicar por 4:

$$V = 4 \int_{0}^{\sqrt 5}\!\! \int_{0}^{\sqrt {\dst \frac {10 - 2 x^2} 3}}\!\! (z_2 - z_1)\, dy\, dx$$

donde estoy llamando $z_2 = 10 - x^2 - 2 y^2$ el paraboloide superior (que abre hacia abajo) y $z_1 = x^2 + y^2$ el paraboloide inferior (que abre hacia arriba).

Si quieres plantear la integral triple, siempre puedes sustituir en la expresión anterior $\dst z_2 - z_1 = \int_{z_1}^{z_2}\!\! dz$.

Saludos,

Al

PD. Por favor revisa, que estoy poniendo las cuentas de memoria pues ya las borré del computador.

PD2. Cuando terminé de escribir el mensaje caí en cuenta de que se puede hacer el cálculo todavía mas simple graficando el corte de las dos superficies con el plano YZ (o XZ) y calculando el volumen de revolución. Ese cálculo te lo debo

[leo_ro]

Re: volumen entre paraboloides

Muchas gracias por tu respuesta Al. Generalmente es conveniente usar integrales dobles para volumenes no? y dejar a las integrales triples para funciones de cuatro dimensiones.

[Al2000]

Re: volumen entre paraboloides

Cuando calculas un volumen, en general deberás resolver una integral triple. Sin embargo, en muchos casos se puede elegir un diferencial de volumen que abarque toda la extensión del volumen en una o dos direcciones y hacer entonces la suma en un área o una línea.

Como ejemplo, si deseas calcular el volumen de un cilindro, deberás resolver una integral triple si divides el volumen en elementos de volumen $dV = dx\,dy\,dz$ (coordenadas cartesianas) o $dV = r\,dr\,d \theta \, dz$ (coordenadas cilíndricas), pero también podrías hacer el cálculo dividiendo el cilindro en discos (como si lo rebanaras) de radio igual al radio del cilindro y grosor infinitesimal, por ejemplo $dV = \pi R^2\, dz$ (tomando Z como el eje del cilindro) y hacer una integral simple a lo largo de Z.

Por cierto, en la segunda posdata de mi mensaje anterior escribí algo incorrecto, pues la figura no es una figura de revolución (la superficie $z_2$ está alargada en la dirección del eje Y). Sorry por eso

Saludos,

Al