ejercicio integrales / stokes

[jo0000se]

Me estoy volviendo loco con este ejercicio, a ver si alguien puede ayudarme...

. Calculad el flujo del rotacional del campo vectorial F = (y, zx, yzx) a través de la superficie x^2 + y^2 + z^2 = 1, z >= 0 orientada con la normal hacia arriba.

solucion = -Pi

Veamos. si lo calculo con el rotacional y la integral de superfície (para practicar, no por otra cosa) me sale un carro de la lexe... al final me da un resultado que no es (Pi/2) --> error mio seguro.

Mi duda es, aplicando el teorema de Stokes hago la integral de línea de F sobre la circunferencia de radio unidad en z = 0... de este modo sale como debe salir.
Sin embargo, me pregunto: si no conociera el enunciado y me dieran esta integral directamente, yo podría hacer stokes para calcular el flujo de F a través de la superfície que delimita ese camino, pero JAMAS se me ocurriria tomar media esfera, sino que tomaría el circulo interior como figura plana. El tema es que lo he probado así y efectivamente me da el resultado que propone el problema cambiado de signo... POR QUÉ PASA ESO???????

[jo0000se]

Re: ejercicio integrales / stokes

Lo que me interesa comprender es si se cumple que la integral de superficie de 2 superficies delimitadas por un mismo camino va a dar lo mismo. A eso me refiero en el ejercicio propuesto, dado ese círculo de radio unidad puedo coger de forma arbitraria una superficie cerrada interior suya? es decir, puedo coger una plana (el propio disco plano dee radio = 1), con volumen (la semi-esfera...).

En fin, si alguien se anima a contestarme me hará un gran favor ;D.

Gracias!

[polonio]

Re: ejercicio integrales / stokes

Te respondo a vuelapluma (esto es, bastante a la ligera):

-Lo del signo cambiado en la superficie adecuada debe ser por la orientación (dependiendo de la circulación de la curva en la que se apoya la superficie se orienta hacia fuera o hacia dentro)

- En cuanto a la superficie en la que integras: si en puntos de esa superficie (el círculo, parece ser en este caso) el campo tiene singularidades (no está definido ahí el campo), debes rodearla para que se cumpla el teorema de Stokes. Normalmente, si las fuentes del campo (en este caso las fuentes vectoriales superficiales del campo -el salto o discontinuidad tangente del campo-) están por donde integras, chungo: tenemos singularidades. En tu problema tiene pinta de no valer no mismo la componente tangente del campo justo por encima y justo por debajo del plano z=0: así a simple vista, z tiene distinto signo por encima y por debajo del círculo y está en las componentes Fy y la Fz del campo: así que tienes fuentes superficiales vectoriales en el círculo y no puedes integrar ahí: hay una discontinuidad del campo en el círculo que tú dices.

[jo0000se]

Re: ejercicio integrales / stokes

Vaya... hace un segundo creo que acabo de encontrar una solución... veamos si no me equivoco mucho, si aplicamos green

divergencia del rotacional de F es = 0.

integral(divergencia(F) dV) = integral (rot(F).dS1) + integral (rot(F).dS2) = 0

S1 sería la esfera y S2 la 'base' del volumen trabajado y S1 la esfera en sí.

Por tanto,

integral (rot(F).dS1) = - integral (rot(F).dS2)


Es eso correcto o he causado alguna muerte cerebral al escribir esto?

[polonio]

Re: ejercicio integrales / stokes

Es eso estás acertado y has hecho bien en recurrir al teorema de Gauss-Ostrogradski o de la divergencia para estudiar el rotacional: si a través de una superficie cerrada el flujo neto es cero, si divides la superficie cerrada en dos, la suma de los dos flujos es nula (tienen distinto signo, claro): pero no tienen por qué ser iguales los módulos si el campo no es simétrico respecto a las dos superficies. Pero, ¡ojo!, estás ahora estudiando las fuentes escalares del rotacional (que, a su vez es la fuente vectorial del campo)

Anda con cuidado con esto; escribes;

integral(divergencia(F) dV) = integral (rot(F).dS1) + integral (rot(F).dS2) = 0

y no es cierto; en todo caso:

integral(divergencia(rot(F)) dV) = integral (rot(F).dS1) + integral (rot(F).dS2) = 0

Venga, ánimo.

[jo0000se]

Re: ejercicio integrales / stokes

Eso quería decir, se me ha colado el rotacional. Muchas gracias Polonio!!!