1r ciclo Campo vectorial: Descomposición de Helmotz

[javier m]

Se supone que si uno tiene una campo vectorial $\vec{E}$, por el teorema de Helmotz este se puede escribir como $\vec{E}=-\nabla \phi + \nabla \times \vec{A}$.

Si $\nabla \cdot E=s(\vec{r})$ y $\nabla \times \vec{E}=\vec{c}(\vec{r})$, entonces se puede demostrar que:

$\phi=\dfrac{1}{4\pi}\int \dfrac{s(\vec{r_2})}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|} \dd V_2$

$\vec{A}=\dfrac{1}{4\pi}\int \dfrac{\vec{c}(\vec{r_2})}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|} \dd V_2$

Donde $\vec{r_1}$ indica el punto de campo y $\vec{r_2}$ el punto de fuente (¿fuente? )



Pero no entiendo nada, el libro no trae ejemplos y tampoco he encontrado como se usa en otro lado

¿Cual es la fuente?, ¿quien es $V_2$?

Si yo tengo que $\vec{E}=yx\hat{\imath}-x\hat{\jmath}$, creo que no se pueden usar las integrales que puse porque el campo debe tender a cero en el infinito para que el teorema sea valido, pero entonces como hallo a $\phi$ y $\vec{A}$ en este caso?

[gdonoso94]

Re: Campo vectorial: Descomposición de Helmotz

Hola, nuestro profesor nos explicó la descomposición de Helmholtz. En cuanto a tus últimas preguntas, el teorema sólo es válido cuando se cumplen las condiciones de las que precisa. Si el campo debe tender a cero en el infinito y este no lo cumple, no existirá una descomposición de Helmholtz y quizá no se pueda separar en otras dos funciones. Estas condiciones son que:

1.- Las funciones s y c (escalar y vectorial, respectivamente) tiendan a 0 más rápido que $\dst \frac{1}{r^2}$ cuando r tiende a infinito

2.- El campo vectorial tienda a 0 cuando r tiende a infinito.

Si cumple esas condiciones se puede descomponer de única forma con el teorema. Quizá exista una descomposición pero eso ya es otro terreno.

La fuente es el punto que provoca el campo (en el punto de campo). Ese vector representa la distancia desde un origen de coordenadas común de un punto fuente y su punto campo.

En cuanto a $dV_2$ se refiere a el diferencial de volumen del punto fuente. A mí me gusta más utilizar de vector resta $\vec{r}-\vec{r'}$ y utilizar como elemento de volumen $dV'=dx'dy'dz'$

Espero que te haya aclarado algo. No puedo profundizar más en el tema, porque no lo he estudiado desde un punto matemático, si no puramente físico.

Un saludo y suerte.

[javier m]

Re: Campo vectorial: Descomposición de Helmotz

Hmm, pues cuando dices que la fuente es el que produce el campo, me suena a algo así como que,por ejemplo, uno tiene un cuerpo con carga tal que crea un campo tal en un punto tal, y el $V_2$ es el volumen de ese cuerpo, pero ese es un caso muy concreto.

Pero si me ponen algo así (que lo han hecho) como que dado el campo vectorial $\vec{E}(x,y,z)$ halle algunas componentes longitudinales ($- \nabla \phi$) y transversales ($\nabla \times \vec{A}$) del campo ¿alguna idea?

- - - Actualizado - - -

Por cierto, gracias.

[gdonoso94]

Re: Campo vectorial: Descomposición de Helmotz

Creo que es justo ese caso. No me imagino otra situación donde eso ocurra (aunque hablo desde la ignorancia, seguro que existe).

Si quieres las componentes longitudinales tendrías que integrar a capón el campo que te dan con las integrales que has puesto. En wikipedia vienen las mismas pero creo que se entiende algo mejor. Te dejo aquí el enlace.

Espero que tengas suerte, y siento no poder ayudarte más. No he visto en profundidad este teorema.

Un saludo.

[javier m]

Re: Campo vectorial: Descomposición de Helmotz

ok, vale. No conocía esas formulas más generales.