1r ciclo multiplicar por uno, multiplicar por cero

[guibix]

Hola a todos,

El otro día estaba arreglando una ecuación diferencial surgida de un problema de termodinámica. La ecuación de energía era

$$E=\frac 1 2 m\dot x^2+mx\ddot x,\,\, \forall x>0,\,\,\forall \ddot x>0.$$

Más allá de mi torpeza para resolver ecuaciones diferenciales, jugué un poco para ver si podría llegar a alguna parte.

$$\frac E m=\frac 1 2\frac{\dd x^2}{\dd t^2}+x\frac{\dd^2 x}{\dd t^2},$$

$$\frac E m\dd t^2=\frac 1 2\dd x^2+x\dd^2 x.$$

Y ahora viene lo bueno que no tiene nada que ver con el problema en si. Si intento sacar factor común de $\dd x^2$ (cosa inútil, lo sé) ocurre algo que no logro entender:

$$\frac E m\dd t^2=\frac 1 2\dd x^2+x\dd^2 x\frac{\dd x^2}{\dd x^2},$$

$$\frac E m\dd t^2=\dd x^2\left(\frac 1 2+x\frac{\dd^2 x}{\dd x^2}\right).$$

Pero es que $\frac{\dd^2 x}{\dd x^2}=0,$ con lo cual se cancela toda la componente. No le veo el sentido ni veo el error.

En resumen y para abreviar:

$$\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}=\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}\frac{\dd x^2}{\dd x^2}=\frac{\dd^2 x}{\dd x^2}\frac{\dd x^2}{\dd t^2}=0!!!$$

¿Cómo se come esto y porqué multiplicando por uno se me multiplica por cero?

Entiendo que en la naturaleza del problema, 0 es una posible solución para la aceleración si no se imponen las condiciones de la expresión (1), pero me desconcierta mucho que se pueda hacer con cualquier aceleración que imaginemos, cosa que me lleva a pensar que cometo algún error de base en el planteamiento.


Por otra parte, aprovechando el hilo y a sabiendas de que no está en el apartado correspondiente, me gustaría encontrar la solución general de $x(t)$ partiendo de la ecuación (1).

He probado aplicar Euler-Lagrange pero lo único que consigo es llegar a la conclusión de que la fuerza generada por el potencial es igual a la que sufre el objeto acelerado y en los mismos términos ($ma=ma$), cosa evidente y muy útil para hallar la solución.

Agradezco cualquier ayuda, ya que estos temas no los domino mucho y me pierdo.
Saludos.

[Al2000]

Re: multiplicar por uno, multiplicar por cero

Tienes un enredo con la notación. Si con $\dst \frac {dx^2}{dx^2}$ estás queriendo significar $\dst \frac {(dx)^2}{(dx)^2} = \left(\frac {dx}{dx}\right)^2$, eso en efecto vale 1. Pero si con esa expresión estás queriendo significar $\dst \frac d {dx}\left(\frac {dx}{dx}\right)$, entonces eso vale cero. En la ecuación (6) estás usando el doble significado y por eso la aparente contradicción.

Saludos,

Al

[guibix]

Re: multiplicar por uno, multiplicar por cero

No sé si entiendo ¿A qué doble significado te refieres? ¿Quieres decir que $dx^2$ pueden ser dos cosas distintas?

Sé que estoy equivocado porqué no da el mismo resultado y aunque veo que no es lo mismo, no entiendo que $\dfrac{\dd^2 x}{\dd t^2}\dfrac{\dd x^2}{\dd x^2}$ y $\dfrac{\dd^2 x}{\dd x^2}\dfrac{\dd x^2}{\dd t^2}.$ no puedan ser lo mismo ¿Acaso no conmutan los denominadores? ¿O es que un $\dd x^2$ no es igual que el otro, solo que se escriben igual? Lo digo más que nada porqué siempre he visto usar estos trucos para apañar derivadas. Sin ir más lejos, la regla de la cadena se puede deducir usando un método parecido:

$$\begin{aligned}<br /> a&=\frac{\dd v}{\dd t}\frac{\dd x}{\dd x},\\<br /> a&=\frac{\dd v}{\dd x}\frac{\dd x}{\dd t},\\<br /> a&=v\frac {\dd v}{\dd x}.<br /> \end{aligned}$$

Nunca pensé o se me dijo que no pudiera cambiar denominadores diferenciales o que cosas distintas se escribieran igual. Más que nada estoy sorprendido, pero supongo que se me pasará .


¿Y a parte de eso, alguna sugerencia para avanzar en la ecuación diferencial?

De todos modos, gracias por tu tiempo, Al.

Un saludo!!

[hennin]

Re: multiplicar por uno, multiplicar por cero

Es no lineal pero autónoma. Estudia su comportamiento en el espacio de fases, por ejemplo .

[abuelillo]

Re: multiplicar por uno, multiplicar por cero

Lo digo más que nada porqué siempre he visto usar estos trucos para apañar derivadas. Sin ir más lejos, la regla de la cadena se puede deducir usando un método parecido:

Usar el metodo que mencionas vale como ayuda nemotecnica o intuitiva, pero no vale como demostracion: dx/dy no es una fraccion, no se puede justificar que dx/dx = 1 diciendo que se cancelan numerador y denominador como si fuesen numeros reales.
Justificar que los diferenciales se pueden cancelar no es inmediato, implica plantear algunas integrales y usar la regla de la cadena y el teorema fundamental del calculo, para demostrarlo.

[Breogan]

Re: multiplicar por uno, multiplicar por cero

Hola:

Aunque mis dichos puedan parecer afirmaciones son mas que nada dudas dichas enfáticamente (disculpas !!)

Creo como dijo Al que hay una confusión en el concepto y denominación de dos cosas que son diferentes.

En mi criterio resulta que:

$\dst \mathrm {dx^2} = \mathrm {d(dx)}$

y tambien:

$\dst \mathrm {dx^2} \neq \mathrm {(dx)^2}$

En cuanto a la expresión $\dst \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ (pese a que ya se discutió en otro hilo, yo me perdí ), según recuerdo de lo que me enseñaron (hace tiempo a !!!) es el cociente incremental de la recta tangente a una función en un punto, y se demuestra que dicho cociente incremental es igual al cociente incremental $\dst \frac {\Delta y}{\Delta x}$ de dicha función en el mismo punto cuando ambos incrementos de la variable x tiende a cero, demostrando que el 1º cociente incremental es igual a la derivada de la funcion.

Creo !!

Suerte