2o ciclo Problema con derivación funcion implícita

[leo_ro]

Tengo que hallar la derivada direccional de la función $z={x}^{y}$ en el punto $(2,2,4)$ en la dirección del vector posición del punto $(3,-1,2)$


Como el vector dirección tiene 3 coordenadas entonces el vector gradiente tiene que tener 3 coordenadas. Por lo que nos quedaría una función implícita, de la forma:


$f(x,y,z)=z-{x}^{y}=0$


¿Puedo realizar las derivadas parciales $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}$,$\frac{{\partial f}}{{\partial y}}$, $\frac{{\partial f}}{{\partial z}}$ de manera común? Es decir, que me quedaría:


$\nabla f (x,y,z) = -y{x}^{y-1} \hat{i} + (-{x}^{y} ln(x)) \hat {j} + \hat{k}$


Pregunto esto porque $f$ no es una función que toma cualquier valor sino que siempre es cero. En particular no sé bien cuando derivar parcialmente una función implicita. Tampoco no le veo un significado físico al gradiente de la función $f(x,y,z)=0$ ya que el gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento y es perpendicular a la curva de nivel y la función f(x,y,z) es cero para todo valor de (x,y,z)

[gdonoso94]

Re: Problema con derivación funcion implícita

Creo que estás confundiendo un poco... Esa superficie no es siempre 0, eso es sencillamente una igualdad. De ahí sacas que $z=x^y$, mira esta gráfica:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+z%3Dx%5Ey

El gradiente lo tendrías que hacer de $f(x,y)=z=x^y$, luego introducir el punto en cuestión.

Para que sea direccional tendrías que multiplicar escalarmente (creo) por el otro vector.

Un saludo!

- - - Actualizado - - -

Voy a corregir todo mi mensaje anterior, ya que he metido la pata hasta el fondo .

Tu función implícita y tu gradiente están bien hechos. Para hacer la derivada direccional te queda meter el punto en el gradiente (en algunos casos te piden que también sea unitario, es decir, divides entre el módulo), y multiplicas escalarmente (proyectas) sobre el vector donde quieres que esté dirigido.

Y con esto ya estaría hecho el ejercicio.

Por otro lado, f es una función implícita, es decir, tomará valores en z en función de los que des en x e y, por tanto no es siempre 0. No hay más que ver la gráfica que te he dejado en el mensaje anterior.

Saludos y perdón por el lío, estoy un poco empanado últimamente...

[angel relativamente]

Re: Problema con derivación funcion implícita

Creo que estás confundiendo un poco... Esa superficie no es siempre 0, eso es sencillamente una igualdad. De ahí sacas que $z=x^y$, mira esta gráfica:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+z%3Dx%5Ey

Sin pararme a meditar el problema, creo que a lo que se refiere leo_ro es que la función $f(x,y,z)$ es idénticamente cero, y eso es cierto. Por ejemplo, la función identidad $y=x$ todos sabemos que su gráfica es la recta bisectriz del primer cuadrante (y no parece ser cero), pero esa recta es equivalente a los ceros de la función en dos variables $f(x,y)=y-x$. Del mismo modo, la superficie que has representado en el wolfram no es más que los ceros de la función de 3 variables $z-x^y$.

[gdonoso94]

Re: Problema con derivación funcion implícita

Sin pararme a meditar el problema, creo que a lo que se refiere leo_ro es que la función $f(x,y,z)$ es idénticamente cero, y eso es cierto. Por ejemplo, la función identidad $y=x$ todos sabemos que su gráfica es la recta bisectriz del primer cuadrante (y no parece ser cero), pero esa recta es equivalente a los ceros de la función en dos variables $f(x,y)=y-x$. Del mismo modo, la superficie que has representado en el wolfram no es más que los ceros de la función de 3 variables $z-x^y$.

Yo no consigo ver que para todo (x,y,z) la función sera 0. Toma por ejemplo el punto (2,2,2).

[leo_ro]

Re: Problema con derivación funcion implícita

Pero es que la función está definida de manera de que para cualquier valor de (x,y,z) f es cero. ¿Por lo que fisicamente o de una forma para interpretarlo ¿para donde apunta el gradiente? Por que como dije antes este por definición apunta en la dirección en que la función $f$ crece más rapidamente, y esta no crece sino que tiene un valor constante.

Otra cosa importante. Entonces ¿todo función implicita es una curva de nivel de una función? Porque la función $f(x,y,z)=z-{x}^{y}ln(y)=0$ es una curva de nivel de $z={x}^{y}ln(y)$ cuando $z=0$¿estoy en lo correcto?

[javier m]

Re: Problema con derivación funcion implícita

Disculpa, puedes colocar el enunciado tal cual?

[leo_ro]

Re: Problema con derivación funcion implícita

Hallar la derivada direccional de la función $z={x}^{y}$ en el punto de coordenadas $(2,2,4)$ y en la dirección del punto de coordenadas $(3,-1,2)$

[javier m]

Re: Problema con derivación funcion implícita

Hmm no sé.

Para mi el vector que te dan debería estar en el plano XY, no en el espacio en general. No veo qué sentido pueda tener eso que pide el enunciado.

[leo_ro]

Re: Problema con derivación funcion implícita

A ver, hay algo que no me cierra porque si $f(x,y,z)=0$ $\forall(x,y,z)\in {R}^{3}$

$\dst \frac{\partial f}{\partial x}={\ell}_{h \to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h }={\ell}_{h \to 0} \frac{0-0}{h }=0$

$\dst \frac{\partial f}{\partial y}={\ell}_{h \to 0} \frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h }={\ell}_{h \to 0} \frac{0-0}{h }=0$

$\dst \frac{\partial f}{\partial z}={\ell}_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h }={\ell}_{h \to 0} \frac{0-0}{h }=0$

De esta manera

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De esta manera cualquier derivada direccional sería cero.

${D}_{\hat{a}}=\nabla f.\hat{a}=<0;0;0> <{a}_{x};{a}_{y};{a}_{z}>= 0$ $\forall \hat{a} \in {R}^{3}$

[Breogan]

Re: Problema con derivación funcion implícita

Hola:

Tengo que hallar la derivada direccional de la función $z={x}^{y}$ en el punto $(2,2,4)$ en la dirección del vector posición del punto $(3,-1,2)$


Como el vector dirección tiene 3 coordenadas entonces el vector gradiente tiene que tener 3 coordenadas. Por lo que nos quedaría una función implícita, de la forma:


$f(x,y,z)=z-{x}^{y}=0$


¿Puedo realizar las derivadas parciales $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}$,$\frac{{\partial f}}{{\partial y}}$, $\frac{{\partial f}}{{\partial z}}$ de manera común? Es decir, que me quedaría:


$\nabla f (x,y,z) = -y{x}^{y-1} \hat{i} + (-{x}^{y} ln(x)) \hat {j} + \hat{k}$


Pregunto esto porque $f$ no es una función que toma cualquier valor sino que siempre es cero. En particular no sé bien cuando derivar parcialmente una función implicita. Tampoco no le veo un significado físico al gradiente de la función $f(x,y,z)=0$ ya que el gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento y es perpendicular a la curva de nivel y la función f(x,y,z) es cero para todo valor de (x,y,z)

No me acuerdo mucho, así que voy a divagar un poco sobre este tema.

Si vos tenes una curva en el plano xy esta puede ser expresada por una funcion del tipo:

$y = f(x)$ y el conjunto de los puntos de la curva sera $\left[x , f(x) \right]$

si ahora pasamos de miembro f(x) nos quedara:

$y-f(x) = 0$

y la curva sigue siendo la misma y el conjunto de puntos es el mismo que antes, si esta igualdad la asignamos a la variable z quedaría:

$z = y-f(x) = 0$ y el conjunto de puntos expresado en un espacio tridimensional sería $\left[ x , f(x) , 0 \right]$, si el espacio tuviera mas dimensiones las coordenadas añadidas a tal efecto serian idénticamente igual a cero, ya que la curva no cambia (sigue estando en el plano xy).

En tu caso tu f(x, y, z) esta asignada a una variable (no especificada) y que es identica a cero, el conjunto de puntos sería $\left[x,y,x^y,0\right]$

Para mi en este caso que tenemos que z = f(x,y) el gradiente seria:

$\dst \vec \nabla z =\frac{\partial f(x , y)}{\partial x} \hat i + \frac{\partial f(x , y)}{\partial y} \hat j$

y si tenemos un vector r expresado por:

$\dst \vec r = r_x \hat i + r_y \hat j + r_z \hat k$

con respecto al cual queremos hallar la derivada direccional tendríamos que:

$\dst D_{\vec r} z = \vec \nabla z . \frac {\vec r}{|\vec r |}$ (si no me acuerdo mal)

y por lo tanto:

$\dst D_{\vec r} z = \frac{\partial f(x , y)}{\partial x} \frac { r_x}{|\vec r |} +\frac{\partial f(x , y)}{\partial y} \frac { r_y}{|\vec r |}$


Espero sepas disculpar si estoy equivocado.

Suerte

[leo_ro]

Re: Problema con derivación funcion implícita

Tienes razón