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Problema con derivación funcion implícita

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  • 2o ciclo Problema con derivación funcion implícita

    Tengo que hallar la derivada direccional de la función en el punto en la dirección del vector posición del punto


    Como el vector dirección tiene 3 coordenadas entonces el vector gradiente tiene que tener 3 coordenadas. Por lo que nos quedaría una función implícita, de la forma:





    ¿Puedo realizar las derivadas parciales ,, de manera común? Es decir, que me quedaría:





    Pregunto esto porque no es una función que toma cualquier valor sino que siempre es cero. En particular no sé bien cuando derivar parcialmente una función implicita. Tampoco no le veo un significado físico al gradiente de la función ya que el gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento y es perpendicular a la curva de nivel y la función f(x,y,z) es cero para todo valor de (x,y,z)
    Última edición por leo_ro; 18/11/2013, 01:59:18.

  • #2
    Re: Problema con derivación funcion implícita

    Creo que estás confundiendo un poco... Esa superficie no es siempre 0, eso es sencillamente una igualdad. De ahí sacas que , mira esta gráfica:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+z%3Dx%5Ey

    El gradiente lo tendrías que hacer de , luego introducir el punto en cuestión.

    Para que sea direccional tendrías que multiplicar escalarmente (creo) por el otro vector.

    Un saludo!


    - - - Actualizado - - -

    Voy a corregir todo mi mensaje anterior, ya que he metido la pata hasta el fondo .

    Tu función implícita y tu gradiente están bien hechos. Para hacer la derivada direccional te queda meter el punto en el gradiente (en algunos casos te piden que también sea unitario, es decir, divides entre el módulo), y multiplicas escalarmente (proyectas) sobre el vector donde quieres que esté dirigido.

    Y con esto ya estaría hecho el ejercicio.

    Por otro lado, f es una función implícita, es decir, tomará valores en z en función de los que des en x e y, por tanto no es siempre 0. No hay más que ver la gráfica que te he dejado en el mensaje anterior.

    Saludos y perdón por el lío, estoy un poco empanado últimamente...
    Última edición por gdonoso94; 18/11/2013, 21:52:36. Motivo: Corregir por haber leído mal el enunciado.
    'Como físico, no temo a la muerte, temo al tiempo.'
    'Bene curris, sed extra vium.'
    'Per aspera ad astra.'

    Comentario


    • #3
      Re: Problema con derivación funcion implícita

      Escrito por gdonoso94 Ver mensaje
      Creo que estás confundiendo un poco... Esa superficie no es siempre 0, eso es sencillamente una igualdad. De ahí sacas que , mira esta gráfica:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+z%3Dx%5Ey
      Sin pararme a meditar el problema, creo que a lo que se refiere leo_ro es que la función es idénticamente cero, y eso es cierto. Por ejemplo, la función identidad todos sabemos que su gráfica es la recta bisectriz del primer cuadrante (y no parece ser cero), pero esa recta es equivalente a los ceros de la función en dos variables . Del mismo modo, la superficie que has representado en el wolfram no es más que los ceros de la función de 3 variables .
      [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

      Comentario


      • #4
        Re: Problema con derivación funcion implícita

        Escrito por angel relativamente Ver mensaje
        Sin pararme a meditar el problema, creo que a lo que se refiere leo_ro es que la función es idénticamente cero, y eso es cierto. Por ejemplo, la función identidad todos sabemos que su gráfica es la recta bisectriz del primer cuadrante (y no parece ser cero), pero esa recta es equivalente a los ceros de la función en dos variables . Del mismo modo, la superficie que has representado en el wolfram no es más que los ceros de la función de 3 variables .
        Yo no consigo ver que para todo (x,y,z) la función sera 0. Toma por ejemplo el punto (2,2,2).
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        Comentario


        • #5
          Re: Problema con derivación funcion implícita

          Pero es que la función está definida de manera de que para cualquier valor de (x,y,z) f es cero. ¿Por lo que fisicamente o de una forma para interpretarlo ¿para donde apunta el gradiente? Por que como dije antes este por definición apunta en la dirección en que la función crece más rapidamente, y esta no crece sino que tiene un valor constante.

          Otra cosa importante. Entonces ¿todo función implicita es una curva de nivel de una función? Porque la función es una curva de nivel de cuando ¿estoy en lo correcto?

          Comentario


          • #6
            Re: Problema con derivación funcion implícita

            Disculpa, puedes colocar el enunciado tal cual?

            Comentario


            • #7
              Re: Problema con derivación funcion implícita

              Hallar la derivada direccional de la función en el punto de coordenadas y en la dirección del punto de coordenadas

              Comentario


              • #8
                Re: Problema con derivación funcion implícita

                Hmm no sé.

                Para mi el vector que te dan debería estar en el plano XY, no en el espacio en general. No veo qué sentido pueda tener eso que pide el enunciado.
                Última edición por javier m; 19/11/2013, 02:22:56.

                Comentario


                • #9
                  Re: Problema con derivación funcion implícita

                  A ver, hay algo que no me cierra porque si







                  De esta manera

                  [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

                  De esta manera cualquier derivada direccional sería cero.

                  Última edición por leo_ro; 19/11/2013, 03:44:18.

                  Comentario


                  • #10
                    Re: Problema con derivación funcion implícita

                    Hola:

                    Escrito por leo_ro Ver mensaje
                    Tengo que hallar la derivada direccional de la función en el punto en la dirección del vector posición del punto


                    Como el vector dirección tiene 3 coordenadas entonces el vector gradiente tiene que tener 3 coordenadas. Por lo que nos quedaría una función implícita, de la forma:





                    ¿Puedo realizar las derivadas parciales ,, de manera común? Es decir, que me quedaría:





                    Pregunto esto porque no es una función que toma cualquier valor sino que siempre es cero. En particular no sé bien cuando derivar parcialmente una función implicita. Tampoco no le veo un significado físico al gradiente de la función ya que el gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento y es perpendicular a la curva de nivel y la función f(x,y,z) es cero para todo valor de (x,y,z)
                    No me acuerdo mucho, así que voy a divagar un poco sobre este tema.

                    Si vos tenes una curva en el plano xy esta puede ser expresada por una funcion del tipo:

                    y el conjunto de los puntos de la curva sera

                    si ahora pasamos de miembro f(x) nos quedara:



                    y la curva sigue siendo la misma y el conjunto de puntos es el mismo que antes, si esta igualdad la asignamos a la variable z quedaría:

                    y el conjunto de puntos expresado en un espacio tridimensional sería , si el espacio tuviera mas dimensiones las coordenadas añadidas a tal efecto serian idénticamente igual a cero, ya que la curva no cambia (sigue estando en el plano xy).

                    En tu caso tu f(x, y, z) esta asignada a una variable (no especificada) y que es identica a cero, el conjunto de puntos sería

                    Para mi en este caso que tenemos que z = f(x,y) el gradiente seria:



                    y si tenemos un vector r expresado por:



                    con respecto al cual queremos hallar la derivada direccional tendríamos que:

                    (si no me acuerdo mal)

                    y por lo tanto:




                    Espero sepas disculpar si estoy equivocado.

                    Suerte
                    No tengo miedo !!! - Marge Simpson
                    Entonces no estas prestando atención - Abe Simpson

                    Comentario


                    • #11
                      Re: Problema con derivación funcion implícita

                      Tienes razón

                      Comentario

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