1r ciclo integral cambio variable

[JLace]

hola, tengo esta integral $\int\sqrt{8-8cosx}$ y hago el cambio de variable u=8-8cosx y tengo du=8senxdx por lo que dx es $\frac{du}{8senx }$

y como $senx=1-{cosx}^{2 }$, lo que vale cosx en función de u es $cosx=\frac{8-u}{8 }$

hago las sutituciones, tengo $\int\frac{\sqrt{u du}}{8senx }=\int\frac{\sqrt{u du}}{\sqrt{-u^2+16u }}$ simplifico una raíz de u y tendría

$\int\frac{du}{\sqrt{16-u} }$

en el wolfram alpha aparece $\int\frac{-du}{\sqrt{16-u} }$ y el signo - no se como aparece pero es correcto

alguien me podría decir mi fallo? saludos y gracias

[Rodri]

Re: integral cambio variable

En realidad $\sin x = \pm \sqrt{1-\cos^{2}x}$, donde el signo + o - depende del cuadrante en el que situemos la variable x. Arrastrando este signo tras sustituir el seno llegamos a que la solución incluye el doble signo $\pm$. Que sea signo + o signo - dependerá del cuadrante en el que esté x. En otras palabras, la solución de la integral indefinida tiene dos ramas posibles, es ambigua.

[carroza]

Re: integral cambio variable

Hola.

Si tienes en cuenta que $1-\cos(x)= 2 \sin^2(x/2)$, todo sale muy facil.

Saludos

[Rodri]

Re: integral cambio variable

Esta integral tiene su miga, y me explico:

Aplicando la identidad que carroza ha señalado, y que en efecto simplifica mucho el cálculo, tenemos:

$I(x)= \int \sqrt{8-8\cos x}dx =4 \int \sqrt{\sin^{2}(\frac{x}{2})}dx$

Ahora lo suyo sería eliminar la raíz con el cuadrado del integrando:

$I(x)=4\int\sin \frac{x}{2}dx = -8\cos\frac{x}{2}+C$, donde C es la constante de integración.

Ahora imaginemos que nos piden calcular la integral definida siguiente:

$U={\int}_{-\pi}^{\pi}\sqrt{8-8\cos x}dx$

y aplicamos la regla de Barrow con la función primitiva que hemos calculado:

$U=\left[ -8\cos\frac{x}{2} \right]_{-\pi}^{\pi}=-8(\cos\frac{\pi}{2} - \cos\frac{-\pi}{2}) = 0$

Sin embargo, el integrando $\sqrt{8-8\cos x}$ es una función positiva y por tanto la integral no puede ser nula....

A ver quién encuentra dónde está el error... (es muy fácil, pero hay que pensar un poco )

[Physicist]

Re: integral cambio variable

Muy buenas!

El coseno es una función par, por lo que al integrar sobre un intervalo simétrico respecto al origen, se anulan mutuamente. En casos así integras sobre la mitad del intervalo (o un cuarto o como convenga) y multiplicas por 2 (o por cuatro, etc..). En este caso si haces el intervalo $[0,\pi]$ que es la mitad, y multiplicas por dos, el resultado ya no se anula y es -16.

Un saludo!

[Rodri]

Re: integral cambio variable

Tu respuesta no responde a lo que yo preguntaba Physicist.


Lo que yo preguntaba era ¿dónde está el error en la deducción de que la función primitiva de $\sqrt{8-8\cos x}$ es $-8 \cos\frac{x}{2}$ , como he "demostrado" (falsamente) antes?

La respuesta yo la sé, pero creo que es interesante reflexionar sobre ello para no caer en la trampa que tienden este tipo de integrales...

No sé si se ve que estoy improvisando un pequeño desafío...

¿Alguien más responde?

[Al2000]

Re: integral cambio variable

¿Te sirve si simplemente te respondo que $\sqrt {x^2}$ no es $x$ sino $|x|$?

Saludos,

Al

[Rodri]

Re: integral cambio variable

Efectivamente, Al, por ahí van los tiros:

$\int \sqrt{\sin^{2}\frac{x}{2}}dx = \int \left\vert{} \sin \frac{x}{2} \right\vert{}dx$

La función primitiva de $\left\vert{} \sin\ \theta\right\vert{}$ es una función $f(\theta)$ definida a tramos: (tomando la constante de integración tal que f(0)=0)

$f(\theta)=1-\cos\theta$, para $x \in [0,\pi]$
$f(\theta)=3+\cos\theta$, para $x \in [\pi,2\pi]$
$f(\theta)=5-\cos\theta$, para $x \in [2\pi,3\pi]$
...

, que si la dibujamos tiene el aspecto de una escalera serpenteante, cuyos escalones son semiciclos de sinusoide empalmados unos con otros de forma suave (al ser la derivada continua)


Esta función sí da el resultado correcto al aplicar la regla de Barrow.

Anexo una gráfica en la que se muestra esta función para la integral concreta del problema que originó el hilo.

[JLace]

Re: integral cambio variable

si quiero resolver la integral entre 0 y 4 que signo cojo?

porque lo de que depende del cuadrante no lo veo, 0 está en el primer cuadrante y el 4 está en el tercero, digo esto porque estoy pensando que la x son radianes

[Rodri]

Re: integral cambio variable

Tienes que ir alternando signo, al recorrer ese intervalo, como trato de expresar en la función por tramos que he definido en mi anterior mensaje. Así obtienes una integral que es la curva violeta de la figura

[JLace]

Re: integral cambio variable

pero el valor absoluto de senx es una función periódica que puede coger valores entre 0 y 1 , porque pones que es una función ascendente?

[Rodri]

Re: integral cambio variable

A ver si me explico mejor:

Partimos de que $\int \sqrt{8-8\cos x}dx=4\int \left\vert{} \sin \frac{x}{2}\right\vert{}dx$

¿Estamos de acuerdo hasta aquí?

Buscamos la función $f(x)$, que es la primitiva de $f'(x)=\left\vert{} \sin \frac{x}{2}\right\vert{}$. Como $f'(x)$ es positiva o cero para todo x, sabemos que f(x) tiene que ser monótona creciente ¿no estás de acuerdo?

Otra forma de decir lo mismo es esta: al calcular la integral siguiente:

$I(x) = \int_{0}^{x}\left\vert{} \sin \frac{t}{2} \right\vert{}dt$,

I(x) será siempre un valor positivo (al ser el integrando cero o positivo) y además I(x) debe ser creciente con x.

Las funciones $8\cos\frac{x}{2}$ y $-8\cos\frac{x}{2}$ no son monótonas crecientes, sino que son oscilantes, por ello no pueden ser la función primitiva que buscamos para todo x.
Fíjate que estas dos funciones sí que valen como función primitiva si nos limitamos a los intervalos en que son monótonas crecientes. El problema es que fuera de esos intervalos dejan de ser válidas como función primitiva de f'(x).

Si meditas un poco sobre todo esto, verás que la función primitiva válida para todo x está hecha a tramos a partir de $8\cos\frac{x}{2}$ y $-8\cos\frac{x}{2}$:

$f(x) =$
$8-8\cos\frac{x}{2}$, para $0\leqslant x \leqslant 2\pi$
$24+8\cos\frac{x}{2}$, para $2\pi\leqslant x \leqslant 4\pi$
$40-8\cos\frac{x}{2}$, para $4\pi\leqslant x \leqslant 8\pi$

y así sucesivamente

En cada tramo lo que hacemos es tomar alternadamente $8\cos\frac{x}{2}$ o $-8\cos\frac{x}{2}$ (según cuál de las dos tenga derivada positiva en el intervalo del tramo en cuestión) y le sumamos una constante de integración (8, 24, 40, ...) de forma que la f(x) que vamos construyendo sea continua en los límites del intervalo y "empalme" con el tramo anterior y posterior...

Esta f(x) es la curva morada de la gráfica que he anexado en mi mensaje anterior, que lleva la etiqueta "integral".

Espero que ahora te quede claro. Si no, vuelve a preguntar.
Un saludo

[JLace]

Re: integral cambio variable

no entiendo el porque impones que sea creciente

[Al2000]

Re: integral cambio variable

Permíteme responderte algo mas concreto. Preguntaste por la integral $\dst \int_{0}^{4}\!\! \sqrt {8 - 8 \cos x}\, dx$ que como ya se ha dicho sería $\dst 4 \int_{0}^{4}\!\! \left |\, \mathrm {sen} \, \frac x 2 \right |\,dx$. Pero como la función $\dst \, \mathrm {sen} \, \frac x 2$ es positiva desde 0 hasta $2 \pi$, entonces puedes simplemente quitar el valor absoluto:

$$\int_{0}^{4}\!\! \sqrt {8 - 8 \cos x}\, dx = 4 \int_{0}^{4}\!\! \left |\, \mathrm {sen} \, \frac x 2 \right |\,dx = 4 \int_{0}^{4}\!\!\, \mathrm {sen} \, \frac x 2\,dx \approx 11.33$$

En cambio, si estuvieses integrando desde x = 0 hasta x = 8, entonces deberías "partir" la integral en el punto $x = 2 \pi$:

$$\int_{0}^{8}\!\! \left |\, \mathrm {sen} \, \frac x 2 \right |\,dx = \int_{0}^{2 \pi }\!\!\, \mathrm {sen} \, \frac x 2\,dx + \int_{2 \pi }^{8 }\!\!\, \left(-\mathrm {sen} \, \frac x 2\right) dx$$

Saludos,

Al

[Rodri]

Re: integral cambio variable

no entiendo el porque impones que sea creciente

porque su derivada es una función positiva ¿lo ves?