1r ciclo Desarrollo de Laurent

[gdonoso94]

Hola, tengo un ejercicio en el que me piden hacer el desarrollo en serie de Laurent de la función (los tres primeros términos no nulos)

$\dst f(z)=\frac{1}{z^2\sinh(z)}$

Yo lo que había pensado era coger y hacer el desarrollo de Taylor de $1/\sinh(z)$, luego dividirlo entre z y hallar los tres primeros términos no nulos, sean negativos o no. Lo que pasa es que lo veo demasiado rudimentario... ¿Existe alguna otra forma de hacerlo más elegante?

Mil gracias.

Un saludo

[Turing]

Re: Desarrollo de Laurent

Hola Gdonoso,

advierto que no sé mucho del tema, perdona si no te ayudo mucho.

Esa función que te dan se puede escribir como $\dst f(z)=\frac{g(z)}{z^3}$, donde $\dst g(z)=\frac{z}{sinhz}$ y que además creo que es par.

¿Quizá ésto ayuda en algo? No tengo ni idea.

Un saludo y perdona si molesto.

[gdonoso94]

Re: Desarrollo de Laurent

Hola Turing,

Gracias por el intento, pero no, lamentablemente no me ayuda.

Molestar no, la intención es lo que cuenta :P

Un saludo!

[Umbopa]

Re: Desarrollo de Laurent

Te digo como lo he hecho yo. Lo primero , es evidente que la serie no pasa de 1/z³ , entonces :

f(z) = 1/(z² sinh(z)) ---> z² sinh(z) f(z) = 1

Expresando z² sinh(z) = z² ( z + z³/6 + ...) en serie de Taylor y f(z) = a_0 / z³ + a_1 / z² + a_2/z + a_3 + a_4 z +.... . Haciendo el producto de las dos series (producto de Cauchy) y igualando todos los coeficientes que te aparezcan de una potencia de z a cero (excepto el coeficiente constante que es = 1 para que se cumpla la igualdad z² sinh(z) f(z) = 1) obtienes todos los valores a_i .

En concreto yo he obtenido : a_0 = 1 , a_1 = 0 , a_2 = -1/6 .... (los otros ya me ha dado pereza) , el tercer coeficiente no nulo te lo dejo para ti xD .


Nota : Por cierto , no puedes desarrollar en serie de Taylor 1/sinh(z) ya que no es analítica en z=0 , tiene que desarrollar z^2 sinh(z) en serie de Taylor y hacer el procedimiento que he explicado.

[[Beto]]

Re: Desarrollo de Laurent

Hola Turing,

Gracias por el intento, pero no, lamentablemente no me ayuda.

Molestar no, la intención es lo que cuenta :P

Un saludo!

Hola no recuerdo mucho este tema, pero ¿por qué no usas la formula general para calcular los términos de una serie de Laurent?, tienes parte de la respuesta en tu firma :P.

[gdonoso94]

Re: Desarrollo de Laurent

Hola no recuerdo mucho este tema, pero ¿por qué no usas la formula general para calcular los términos de una serie de Laurent?, tienes parte de la respuesta en tu firma :P.

Porque la fórmula general es un royo

Gracias Atrode.