1r ciclo Solución ecuación

[Turing]

Hola chicos,

me dan la siguiente ecuación: $x-\sin(x) -5=0$ y me piden que demuestre que tiene solución dentro de los reales. He utilizado el teorema de Bolzano y he comprobado que efectivamente cambia de signo y, como es continua, corta en algún punto el eje de las abscisas y por lo tanto se cumple el enunciado.

¿De qué distintas maneras puedo resolver este problema? ¿Se podría aplicar el teorema fundamental del álgebra?

Un saludo y gracias.

[gdonoso94]

Re: Solución ecuación

Hola, no sé más formas de resolverlo, pero creo que no se podría aplicar el teorema fundamental del álgebra, ya que no es un polinomio.

Saludos.

[Turing]

Re: Solución ecuación

ya que no es un polinomio

Suponía eso. ¿Pero podría realizar un desarrollo de Taylor para el seno y evaluarlo como un polinomio?

[abuelillo]

Re: Solución ecuación

Quizas es demasiado obvio pero se me ocurre que otra forma de demostrarlo es simplemente resolviendo la ecuacion, es decir calcular el valor de x.

[Turing]

Re: Solución ecuación

simplemente resolviendo la ecuacion, es decir calcular el valor de x.

¿Como hallarías el valor de x en esta ecuación?

[Al2000]

Re: Solución ecuación

Se me ocurre que podría demostrarse partiendo de que $x - \, \mathrm {sen} \, x - 5$ tiene un desarrollo como polinomio de grado impar y por lo tanto tiene al menos una raíz real. ¿Qué opinas?

Saludos,

Al

[abuelillo]

Re: Solución ecuación

¿Como hallarías el valor de x en esta ecuación?

Aproximandolo por el metodo de newton quizas

[angel relativamente]

Re: Solución ecuación

Hola Turing. Para sacar un valor de x como propone abuelillo habría que usar un método numérico. Como dice gdonoso94, el teorema fundamental del álgebra es solo aplicable a polinomios. El desarrollo de Taylor de una función es una serie, que es y se comporta de manera distinta a un polinomio. Y el polinomio de Taylor hasta cierto orden de una función tan solo nos da una aproximación , por lo que sería equivalente a usar un método numérico. No obstante esto no demostraría nada. Si encuentras un $x_0$ que cumple $x_0 - \sin (x_0 ) - 5 \approx 0$ no implica en absoluto que $\exists x \in \mathbb{R}$ que verifique la igualdad. Tan solo si has demostrado la existencia tendría sentido hacer lo propuesto y entonces ya podrías decir que $x \approx x_0$. Para demostrar la existencia tienes que ver como muy bien haces que corta el eje x (que la función es continua y tiene algún 0), y a mí personalmente no se me ocurre otra forma que no sea el teorema de Bolzano.

Un saludo,

PD: He escrito sin leer las dos respuestas anteriores. Yo mantengo mis palabras, pero estoy abierto a debate.

[pilimafiqui]

Re: Solución ecuación

Intenta aplicando el Teorema de Rolle

[gdonoso94]

Re: Solución ecuación

Suponía eso. ¿Pero podría realizar un desarrollo de Taylor para el seno y evaluarlo como un polinomio?

Creo que ya sobra mi respuesta, con lo que ha explicado, perfectamente por cierto, Ángel.

Saludos

[Turing]

Re: Solución ecuación

Gracias por la explicación Ángel.

Pero aún así no acabo de ver porqué no puede ser lo que plantea Al3000 más arriba. ¿Es porque sigue siendo una aproximación numérica?

[angel relativamente]

Re: Solución ecuación

No termino de verlo. De primeras, la aproximación de Taylor es una aproximación local (cuando calculamos el polinomio de cierto orden lo hacemos en un punto concreto), y no me queda claro en qué influyen las raíces del polinomio que aproxima si no lo aproximamos sobre el punto x=0. ¿No podríamos usar ese mismo argumento para demostrar que la función $\sin (x) + 2=0$ tiene valores reales que la satisfacen? Y sin embargo todos sabemos que esa ecuación no tiene solución alguna en los reales.

[Physicist]

Re: Solución ecuación

Muy buenas!
Me aventuro con un intento, pero no tengo nada claro que demuestre algo o si es útil... Pero por probar que no quede! xD

Si despejamos la ecuación de la forma:
$\dst \frac{sin(x)}{x-5 } = 1$

Tenemos que $sin(x)$ es una función real y analítica, al igual que $x-5$, por lo tanto debe existir una x dentro de los reales que cumpla la ecuación.

Un saludo

[angel relativamente]

Re: Solución ecuación

Tampoco veo claro lo de physicist, ¿no podrías hacer lo mismo con $x^2-\sin(x^2)+5=0$?

[Al2000]

Re: Solución ecuación

...¿No podríamos usar ese mismo argumento para demostrar que la función $\sin (x) + 2=0$ tiene valores reales que la satisfacen?...

Un excelente argumento. Entonces un segundo intento: ¿no podríamos simplemente argumentar que $x-6 \leqslant x - \, \mathrm {sen} \, x - 5 \leqslant x-4$ y concluir que la función tiene al menos una raíz entre 4 y 6?

Saludos,

Al