1r ciclo Límite por Taylor

[Turing]

Buenas,

estoy haciendo límites y he llegado a éste: $\dst \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{1+\cos(x)} )(e^x-e^{-x})}{\sin^3(x)}$. Había pensado en hacerlo aplicando l'Hôpital, pero creo que me va a quedar un carro considerable, así que he decidido hacerlo por Taylor.

Mi procedimiento ha sido éste: primero he dividido los términos de la expresión en diferentes funciones,

$\dst f(x)=(\sqrt{2}-\sqrt{1+cos(x)}$; $\dst g(x)=e^x-e^{-x}$; $\dst h(x)=\sin^3(x)$

y he desarrollado Taylor evaluando en 0 (McLaurin(?)) para cada una de ellas, empezando por la primera,

$\dst f'(x)=\frac{\sin(x)}{2\sqrt{1+cos(x)}} \to f'(0)=0$

$\dst f''(x)= \frac{1}{2}cos(x)(1+cos(x))^\frac{-1}{2} + X$

(X es algún término multiplicado por seno, por lo que evaluado en 0 será 0, lo uso en la tercera función también)

$\dst f''(0)=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

así pues tenemos que

$\dst f(x)=\frac{x^2}{4\sqrt{2}} + Ax^2$

donde A es el residuo.

Si hacemos lo mismo con la segunda,

$\dst g'(x)=e^x+e^{-x} \to g'(0)=2$

$g(x)=2x+Bx^2$

y por último, con la tercera,

$\dst h'(x)=3sin^2(x)cos(x) \to h'(0)=0$

$h''(x)=6sin(x)cos^2(x)-3sin^3(x) \to h''(0)=0$

$\dst h'''(x)= 6cos^3(x) +X \to h'''(0)=6$

$\dst h(x)=\frac{6x^3}{3!}+Cx^4=x^3+Cx^4$

Ahora introduzco todos los nuevos términos en el límite y queda,

$\dst \lim_{x \to 0} \frac{(\frac{x^2}{4\sqrt{2}} + Ax^2)(2x+Bx^2)}{x^3+Cx^4}$

multiplico y llego a mi gran dilema,

$\dst \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x^3}{4\sqrt{2}} + Sx^4}{x^3+Cx^4}$

S es todo el resto siguiente, el cual voy a despreciar porque me estoy acercando a 0, por lo que los términos de grado superior no me influyen. Éste paso me tiene preocupado, a ver si me podéis ayudar, por lo que quedaría...

$\dst \lim_{x \to 0} \frac{x^3(\frac{2}{4\sqrt{2}} + Sx)}{x^3(1+Cx)}= \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Perdón por el largo post pero quiero comprobar si me he equivocado en algo, muchísimas gracias por la ayuda.

[gdonoso94]

Re: Límite por Taylor

¿Y por qué no usas el desarrollo general cambias el argumento? Creo que es más sencillo que desarrollar esas funciones tan enormes...

El resultado de límite a mí me sale igual. Así que salvo error de los dos... Es correcto.

Un saludo!

[Umbopa]

Re: Límite por Taylor

Pues no te preocupes que esta bien. Porque mira :


(Ax³+Bx⁴)/(Cx³+Dx⁴) = (A+Bx)/(C+Dx) = (A+Bx) 1/C ( 1 - D/C x + O(x²) ) , cuando x-> 0 el resultado es A/C

[Turing]

Re: Límite por Taylor

¿Y por qué no usas el desarrollo general cambias el argumento?

No entiendo qué quieres decir. Me estás preguntando porque no uso el desarrollo general, que cambie de argumento (?) o las dos?

Gracias por las respuestas.

[gdonoso94]

Re: Límite por Taylor

Me refería a la forma que utilizas para hallar las series. Lo único que tendrías que hacer es coger el desarrollo de una serie tabulada para x y sustituirlo por lo que tengas. Por ejemplo, el desarrollo de $\dst \sqrt{1+cos(x)}$ no lo sabes de memoria, pero el de $\dst \sqrt{1+x}$ y el del coseno, sí, por tanto lo único que tienes que hacer es desarrollarlos individualmente e introducir la serie del coseno dentro de la de $\dst \sqrt{1+x}$, donde ponga x, claro, luego sencillamente es operar. Para la exponencial y el seno te digo lo mismo. Tu conoces la aproximación de $e^x$... Coge y pon -x donde ponga x y ya tienes hecho el desarrollo de $e^{-x}$; los restas y listo. El del seno es sencillamente elevar al cubo un polinomio, que sí, es pesado, pero como desprecias órdenes superiores a 3... no vas a operar mucho. Espero haberme explicado. Estaba intentando explicarte una forma un poco más sencilla de hacer esto.

Si tienes cualquier duda pregunta, y lo siento por la escasez de ejemplos. Estoy un poco cansado y me da mucha pereza escribir :P.

Un saludo.

[Turing]

Re: Límite por Taylor

Sí, entiendo, quieres decir que cuando tengo funciones compuestas también puedo hacer una composición de sus desarrollos por Taylor, no?

[gdonoso94]

Re: Límite por Taylor

Sí, entiendo, quieres decir que cuando tengo funciones compuestas también puedo hacer una composición de sus desarrollos por Taylor, no?

Efectivamente, has resumido lo que yo dije en muchas líneas, pero no sabía si lo entenderías si lo ponía así :P.

De todas maneras, los límites por Taylor son practicar, practicar y practicar... Apréndete los desarrollos más típicos y salen solos...

Un saludo!