1r ciclo gradiente

[JLace]

hola!

hay una cosa que no entiendo al hacer los problemas del gradiente para encontrar el plano tangente.

porque en 2 dimensiones la derivada me saca la pendiente y en 3 me saca el vector perpendicular?

el gradiente es el vector perpendicular y yo esperaba que fuera el tangente y que me diera la inclinación.

[abuelillo]

Re: gradiente

El gradiente da la pendiente como una derivada, solo que el resultado es un vector cuya magnitud es la pendiente y apunta en la direccion en la que la pendiente es mas pronunciada (ten en cuenta que cuando tenemos una funcion de mas de una variable, hay infinitas direcciones en las que apuntar y por lo tanto infinitas pendientes).
Coincide a mayores que ese vector es perpendicular a la superficie equiescalar que se formaria si hacemos un "corte" a esa altura.
Digamos que tenemos una funcion de x,y cuyo resultado nos da la altura h, imaginemos por ejemplo que define una cadena montañosa esa funcion .
En este caso el gradiente en un punto x,y es un vector vx,vy que nos da la direccion en la que en ese punto de la montaña tiene mas pendiente, y cuya magnitud es la pendiente en si.
Ademas de eso si cortasemos la montañas a esa altura para crear un mapa en 2d, y marcar todos los puntos de las montañas que estan a esa misma altura h. Todos esos puntos formarian una curva, y el vector gradiente seria perpendicular a esa curva.

[Umbopa]

Re: gradiente

Te explico porque creo que estas un poco liado.

Una curva en el espacio viene determinada por una ecuación del tipo r = ( x(t) , y(t) , z(t) ) , siendo "t" un parámetro.

Por ejemplo una posible ecuación para una circunferencia de radio 1 en el plano xy sería r(t) = ( cos(t) , sin(t) , 0 ) .

Una vez tienes la ecuación parámetrica , calcular el vector tangente a la curva es muy fácil , es unicamente derivar respecto el parámetro :

tangente(t) = r'(t) = ( x'(t) , y'(t) , z'(t) ) ; para nuestro ejemplo sería ; r'(t) = ( -sin(t) , cos(t) , 0 )

Si quieres que sea unitario solo tiene que dividir por la norma ; tangente(t) / | tangente(t) | .

Otra cosa muy distinta es calcular el vector normal a un superficie .

La ecuación de una superficie se puede escribir como f(x,y,z) = C , siendo f una función que caracteriza la superficie y C una constante . Por ejemplo la ecuación de un paraboloide puede ser : f(x,y,z) = - x² - y² + z ; C = 0 que es lo mismo que z = x² + y² . Si tienes escrita la ecuación de la forma f(x,y,z) = C , entonces el gradiente de f(x,y,z) es un vector normal a la superficie en el punto x,y,z , para nuestro ejemplo sería :

normal(x,y,z) = grad( f(x,y,z) ) = grad ( -x² - y² + z ) = (-2x , -2y , 1 )

Si quieres que sea unitario solo tienes que dividir por la norma .