1r ciclo Integrales de variable compleja

[Pepealej]

Hola, tengo las siguientes integrales que no comprendo como resolver. He leído el tema acerca del teorema de Cauchy para las integrales, pero no me queda del todo claro como aplicarlo. ¿Alguien puede echarme una mano? Dice así: Resolver las siguientes integrales:

a) $\displaystyle\int_{\left |{z}\right |=1}^{} \displaystyle\frac{\left |{dz}\right |}{z}$

b) $\displaystyle\int_{\left |{z}\right |=1}^{} \displaystyle\frac{dz}{\left |{z}\right |}$

c) $\displaystyle\int_{\left |{z}\right |=1}^{} \left |{\displaystyle\frac{dz}{z}}\right |$

[gdonoso94]

Re: Integrales de variable compleja

Tienes que $z=e^{i\theta}$, por tanto $dz=ie^{i\theta}d\theta$. Los límites de integración son de $0\to 2\pi$. Mira a ver si así las sacas.

Saludos!

- - - Actualizado - - -

Ah! Y se me olvidaba añadirte (que supongo que te habrás dado cuenta, pero por si acaso) date cuenta que $|z|=|e^{i\theta}|=1$ en esos tres ejercicios...

[Pepealej]

Re: Integrales de variable compleja

Entonces, es tan sencillo como que a)=b)=0 y c)=$2\pi i$?

¿Son las integrales complejas siempre iguales a la solución que tienes escrita en tu firma? (0 si son homótopas a un punto en una región analítica, o un múltiplo de $2 \pi i f(a)$ si no lo son?

[gdonoso94]

Re: Integrales de variable compleja

La última a mi me da $2\pi$ a secas. A nosotros nos han explicado homología, no homotopía. Me miro un momento que es homotopía y te contesto de nuevo.

Un saludo!

ACTUALIZO: Vale, entiendo que si un ciclo es homótopo a un punto en el plano complejo es que ese punto no se encuentra dentro de la región que restringe dicho ciclo. En ese caso (yo digo que el ciclo es homólogo a cero, es decir, "el ciclo no da vueltas sobre el punto") la integral es 0. Por tanto, la respuesta a tu pregunta es sí. Es la solución general.

[Pepealej]

Re: Integrales de variable compleja

¿Cómo te da la última $2\pi$?

$\dst\oint_{\left\vert{} z \right\vert{}=1} \left\vert{} \frac{dz}{z } \right\vert{}=\oint_0 ^{2\pi} \left\vert{} \frac{i e^{it}dt}{ e^{it}} \right\vert{}=\oint_0 ^{2\pi} idt=2\pi i$.

¿No?

[gdonoso94]

Re: Integrales de variable compleja

El módulo de $i$ es 1 :P.

[Pepealej]

Re: Integrales de variable compleja

Amm.. pero el módulo de $ie^{it}$ no es $i$?

[gdonoso94]

Re: Integrales de variable compleja

$|ie^{it}|=|i||e^{it}|$. Tenlo en cuenta. Además, el módulo por definición no puede ser complejo, y justo $i$ lo es.